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Probemos ahora, que para que m sea imaginario, es pre- 
ciso, y basta, que las tres raíces de la ecuación (1) sean reales, 
y recíprocamente. 
Para que esto último sea cierto, es condición indispensable 
que 
3 (3 r — pq) 2 -\- 4 p 3 r — 4 p 2 q 2 + 4 q 3 < o. (20) 
Esto supuesto, si probamos que la condición 
(9 r — pq ) 2 — 4 {p 2 — 3 q)(q 2 — 3 pr) < o (21) 
es la misma condición (20), quedará probada nuestra propo- 
sición. 
Desarrollemos la desigualdad (20); tendremos: 
27r 2 + 4/? 3 r — \S pqr — p 2 q 2 + 4 q 3 <o. (22) 
Desarrollando también la condición (21) resulta: 
81 r 2 + 12 p 3 r — 54 pqr — 3 p 2 q 2 + 12 q 3 <o. 
Multiplicando la desigualdad (22) por 3, hallaremos: 
81 r 2 + 12p 3 r— §ípqr— 3/) 2 ^ 2 + 12 q 3 <o; 
desigualdad que evidentemente es la misma que la (21). Que- 
da probado, pues, lo que pretendíamos demostrar. 
Yernos, pues, que cuando las tres raíces de la ecuación ge- 
neral de tercer grado son reales, m es imaginario, y x no es 
susceptible de recibir una determinación bajo forma finita, 
en que solo entren cantidades reales ligadas entre sí por me- 
dio de los algoritmos ordinarios, si nos valemos, para resolver 
la ecuación, del presénte método. 
Esta singularidad algorítmica es completamente seme- 
jante al caso irreducible , señalado por Cardan en el método 
que se le atribuye para resolver las ecuaciones de tercer gra- 
do, desprovistas de segundo término. Y como nuestro método 
