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Dr. A. Brezina. 
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der v. Lang’schen Schlussweise bewiesen habe, ein Vierttheil) der 
bezüglich der Symmetrieebenen isoschematischen Flächen physikalisch 
gleichwerthig sind; so dass er also den Satz aufstellt: Ein Krystall ist 
in krystallographischer und physikalischer Hinsicht entweder holosym- 
metrisch oder hemisymmetrisch (oder tetartosymmetrisch) nach allen 
Flächen eines seiner charakteristischen Flächencomplexe. 
Dabei muss die Anordnung der Halb- oder Viertelflächen so ge- 
schehen , dass dm Symmetrie bezüglich ursprünglich gleichwerthiger 
Symmetrieebenen entweder erhalten bleibe oder auf gleiche Weise 
gestört werde. 
Unter derselben Voraussetzung bezüglich der Erhaltung oder 
gleichmässigen Störung der Symmetrie können in allen liolo-, hemi- 
oder tetartosymmetrischen Gruppen wieder Hemiedrien und Hemi- 
morphien auftreten, so dass wir im Ganzen 56 Gruppen erhalten, welche 
sich, wie folgt, unter die Krystallsysteme vertheilen: 
1 trikline, 2 monokline, 16 prismatische, wovon 12 geometrisch 
selbstständige, 12 tetragonale, wovon 11 selbstständig, 20 hexagonale und 
rhomboedrische, 5 tesserale. 
Gadolin 1 ) legt seiner Ableitung folgende Symmetrieelemente zu 
Grunde : 
Cdincidenzaxen sind Linien von der Eigenschaft, dass bei Drehung 
um dieselbe um einen bestimmten Winkel alle Flächen in der neuen 
Stellung mit allen Flächen der alten Stellung direct coincidiren. 
Der Quotient 
360° 
wo cp° der Drehungswinkel , bestimmt die 
Ordnung der Symmetrieaxe. 
Parallel Ismus. Ein Symmetrieelement, welches die Gleichwerthigkeit 
aller einander entgegengesetzter (unter 180° gegeneinander geneigter) 
Richtungen bedingt. 
Symmetrieebene. Je zwei mit einer Symmetrieebene tautozonale, 
gegen dieselbe gleichgeneigte Ebenen sind gleichwerthig. 
Splieno'idalaxc. Eine Symmetrieaxe zweiter Ordnung, verbunden mit 
einer zu ihr senkrechten, immer erst nach einer Drehung von 90° um 
die Symmetrieaxe wirkenden Symmetrieebene. 
Die Aufsuchung aller aus obigen Symmetrieelementen möglichen, 
mit der Rationalität der Indices vereinbarlichen Combinationen ergiebt 
32 Gruppen, welche bezüglich der den räumlichen Elementen (Axen- 
verhältnissen und — Winkel) in 6 Krystallsysteme zerfallen, und zwar: 
2 trikline, 3 monokline, 3 prismatische, 7 tetragonale, 12 hexa- 
gonale und rhomboedrische und 5 tesserale. 
S o h n c k e 2 ) hat versucht unter der Annahme der für jeden 
Punkt eines als unendlich gedachten Complexes gleichen Anordnungs- 
weise und unter Beschränkung der Gleichheit auf eine Ebene, also der 
Gleichheit nach gleichmässig periodisch gebrochenen, ebenen Linien, 
die in einer Ebene möglichen Anordnungsweisen zu ermitteln. 
’) Gadolin, Act. Soc. Sc. Fennic. IX pag. 1. 1867. 
2 ) Solincke, Crelle-Borchardt LXXV13. pag. 47. 1873. 
