j^7] EntwickeluDg d. Hauptsätze d. Kiystallographie und Krystallpliysik. 131 
Sehr wichtig ist ferner die Verwendung- der Winkel der Flächen- 
nornialen statt der inneren, körperlichen Winkel; zunächst mit Rücksicht 
auf Bequemlichkeit und Uehersichtlichkeit ; während in der Regel die 
inneren Winkel grösser als 100°, also dreiziffrig sind, sind die Nor- 
malenwinkel meist zweiziftrig; ferner werden gegenwärtig die Winkel 
meist am Ketlexionsgoniometcr, also als Normalenwinkel gemessen; aber 
auch bei der blossen Scbätzung eines Winkels nach dem Augenmasse 
schätzt man leichter den Supplementär als den wirklichen Winkel, eben 
weil er meist der kleinere ist. 
Der wichtigste Vortheil der Normalenwinkel besteht darin, dass 
sie unmitttelbar in die Rechnung eingeführt werden können ; dies macht 
sich besonders bei tautozonalen Flächen fühlbar, bei denen aus zwei 
Winkeln je zweier von drei tautozonalen Flächen 
der dritte einfach durch Addition oder Subtraction 
gewonnen wird, und zwar; 
hc = ne — ah = ho 
was bei den von den Flächen selbst gebildeten 
Winkeln nicht der Fall ist. 
Bei Autlössung von Combinationen wird 
eine rasche Orientirung wesentlich durch diese 
Methode gefördert. 
Endlich sind nur die Normalenwinkel zur Eintragung in die sphäri- 
sche Projection geeignet, woselbst sie direct die Seiten der sphärischen 
Dreiecke bilden. 
Damit ist anderseits bereits einer der Vorzüge der sphärischen Pro- 
jection ausgesprochen, der namentlich der Quenstedt’schen fehlt; da ferner 
die ganze Berechnungsmethode Miller’s auf der sphärischen Trigonometrie 
beruht, findet sie an dieser Projection die erläuternde Figur, die also 
gleichzeitig den Zonenverband der vorkommenden Gestalten und den 
Gang der Berechnung des Krystalls repräsentirt. 
Die sphärische Projection hat endlich den grossen Vortheil, eine 
begrenzte zu sein, so dass die geometrischen Orte aller Flächen wirk- 
lich darstellbar und zu einem compendiösen Bilde vereinigt sind, eine 
Eigenschaft, die sowohl der gnomonischen, als der Quenstedt’schen Pro- 
jection fehlt; nur dadurch ist es möglich, die Projection zur Eintragung 
aller physicalischen Verhältnisse zu benützen, welcher Umstand bei der 
immer grösseren Anwendung der letzteren ein sehr einfiussreicher ist. 
Ein Vorwurf, der zwar nicht ausdrücklich, doch stillschweigend 
dieser Fh-ojectionsmethode gemacht wird, ist der, dass zur Anlegung der- 
selben Dreieck und Zirkel erforderlich seien, während zur Quenstedt’schen 
das iJreieck genüge. Dieser Vorwurf ist aber ganz unsticbhältig, denn 
erstlich ist zu jeder genauen Projection der Zirkel nothwendig, wenn- 
gleich nur der bequemere, mit zwei Stahlspitzen versehene; sodann sind 
für gewöhnlichen Gebrauch Zirkel und Dreieck ganz überflüssig, da 
wegen der ausserordentlichen Einfachheit der Zonenberechnungen der An- 
hänger der Miller’schcn Methode die sphärische Projection nur zur Reprä- 
sentation, nicht aber zur Erforschung der vorhandenen Zonen zu verwen- 
den braucht, daher sich die Mühe einer exacten Ausführung derselben, so- 
lange er keine Publication beabsichtigt, vollkommen ersparen kann. 
