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Integrales dobles. Sea la integral doble 
/ ai pfi(x) 
J F{x,y)dxdy , 
en la que x, y son dos variables independientes, y en la que 
suponemos que se ha de integrar: l.° con relación á y , razón 
por la cual los primeros límites son funciones de x; 2.° res- 
pecto á x, de suerte que los límites de esta segunda integra- 
ción son constantes. Sin embargo, para las aplicaciones que 
hemos de hacer podemos suponer el caso particular de cuatro 
límites constantes. 
Supongamos que á las variables x, y queremos sustituir 
bajo el signo integral otras dos variables u, t, ligadas á las 
primeras por las relaciones 
<p (x, y, u , f)=0 
^ (x, y , u y O—o 
ó mas sencillamente: 
% = y = ty(uj) (1) 
El problema se descompone en tres partes: primero, ex- 
presar en función de u, t el coeficiente {F x, y); segundo , ex- 
presar en función de u, t y duXdt el producto dx , dy; terce- 
ro, determinar los nuevos límites. 
Núm. 67. I. Para expresar F (x, y) en función de u , t, 
bastará evidentemente sustituir en F por x e y sus valo- 
res (1), y tendremos: 
F(x, y) = F ^ d(u, t)y [u,t] s j = F i (u, t). 
Núm. 68. II. En cuanto á la determinación de dx dy, el 
problema no es tan sencillo. 
Parece á primera vista que bastará diferenciar las ecua- 
ciones (1), con lo que se obtendrá 
dx — 'f r u [u, t) du + <p' t (u, t ) dt 
dy — <]/ u (u, 0 du + <¡/ t (u, t) dt 
y multiplicar después ios valores de dx, dy; pero este método 
sería radicalmente falso, no porque no pudiese en rigor ha- 
