63 
y sustituyendo estos valores en (4 r ), resultará: 
Xi y i _s_i 
a b ~ c_ 
\/ a 2 4" b 2 c 2 \/ a 2 -¡- b 2 -j- c ¿ \/ a 2 -f- b 2 c 2 
r 2 
~~ ~ ~ ’ 
v/ a 2 + b 2 + c 2 
ó bien suprimiendo el radical 
x i ___ y í __ z i __ r 2 
a b c d 
Num. 82. Supongamos que por un punto A pasan tres 
planos AP, AP\ AP' f , y determinemos, respecto á una esfé- 
ra O , los tres polos correspondientes p, p\ p 
Si por el punto A y por cada uno de los tres polos hace- 
mos pasar tres secantes Ap , Ap, Ap", es evidente que lase- 
cante Ap quedará dividida por el plano AP, la esfera y ei 
punto p en relación armónica, y otro tanto podremos decir 
de las secantes Ap\ Ap" . Resultan, pues, tres secantes que 
parten de un punto A, y que en los puntos p, p , p”, que- 
dan divididas armónicamente. De aquí se deduce que el pla- 
no QQ " que pasa por dichos tres puntos, es el plano polar 
del punto A por relación á la esfera. Queda, pues, demostra- 
do el siguiente 
Teorema. Cuando tres planos pasan por un punto A, el 
plano que determina los tres polos es plano polar de dicho 
punto. 
Núm. 83. Superficies polares recíprocas. Imaginemos que 
las cuatro constantes a, b, c , d, de un plano 
ax 4- by + cz 4* d “-0- 
