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que es el límiíe de ios punios p, p , p"; y por último, el pla- 
no QQ' " ( fig . 27) toma una posición límite t (fig. 27 bis). 
Vemos, pues, que á cada punto A de la superficie S cor- 
responde un punto a , quesera el polo de su plano tangen- 
te T; y el lugar geométrico de los puntos a es otra segunda 
superficie s , que se llama superficie polar de la envolvente S. 
La superficie polar de una superficie dada S por relación á 
una esfera , es por lo tanto el lugar geométrico de los polos de 
todos los planos tangentes á la primera S. 
Núm. 8 L Notemos ahora que el plano t es el límite del 
QQ" , el cual contenía tres puntos infinitamente próximos 
p, p\ p" , que tendian á confundirse en uno solo a, pertene- 
ciente á la superficie, de aquí resulta que este plano t es 
tangente á la superficie polar s; y como el polo de / es el 
punto A de la superficie S, resulta que los puntos de esta 
son los polos de los planos tangentes de s , es decir, que S 
es la superficie polar de s; ó de otro modo, que las superfi- 
cies S y s son polares recíprocas. 
Fácil sería demostrar estas proposiciones de una manera 
rigorosa y analítica, pero creemos inútil para nuestro objeto 
entrar en mas desarrollos. 
Núm. 85. Sea A un punto de la superficie S y T el 
plano tangente en dicho punto: sea asimismo a el punto de 
s correspondiente al A y t el plano tangente en a de s. 
Según lo demostrado a será el polo de T, y A el polo 
de t: así (núm. 77) la recta Oa sera perpendicular á T , y 
OA perpendicular á t; además tendremos 
Oa X OP — r 2 ; O A X op =r 2 . 
Estas relaciones geométricas y analíticas son muy nota- 
bles, y de ellas haremos uso en la teoría de la luz. 
