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cion, bastará extraer la raíz cuadrada de los cocientes respec- 
tivos para hallar los de (3, que, sucesivamente, deben susti- 
tuirse en las ecuaciones © (a, (3) = 0 y 4 ( a > P) = 0, para 
concluir los de a que les corresponden. 
5. — Si para hallar las raíces reales de la ecuación primiti- 
va, f (x)= 0 , fuese menester, como Lagrange en principio su 
ponía, formar la ecuación de los cuadrados de las diferencias 
de todas sus raíces, indudablemente podría utilizarse la se- 
gunda ecuación para determinar por el procedimiento referi- 
do las raíces imaginarias, y completar así la solución de la 
ecuación propuesta. Pero como la formación de la ecuación 
auxiliar citada pide una eliminación muy penosa de la incóg- 
nita x entre estas dos ecuaciones 
A®) = 0, y f(*) + y /"'(*) + (*)+ = ü - 
en la segunda de las cuales representa la y la diferencia de 
dos valores cualesquiera de x, ó de dos raíces de f{x) == 0, 
sólo en casos excepcionales muy sencillos se efectúa este tra- 
bajo preliminar, y sólo entonces podrá utilizarse la ingeniosa 
observación hecha, y modificación consiguiente en el método 
general, propuesta por Lagrange. 
Y áun entonces habrá que proceder con cautela para de- 
terminar los verdaderos valores de (3. Porque, si bien es cier- 
to que á cada par de raíces imaginarias conjugadas de la 
ecuación f(x) = 0 corresponde en la de los cuadrados de las 
diferencias de sus raíces una raíz real negativa, no siempre la 
proposición recíproca es igualmente cierta, ó no siempre á 
cada raíz negativa de la segunda ecuación corresponde un 
par de imaginarias en la primera. Por ejemplo: supongamos 
que la ecuación /* (¿r) = 0 posea, entre otras, tres raíces: 
una real, a; y dos imaginarias, adi¡3\/— 1. En la ecua- 
ción de los cuadrados de las diferencias de sus raíces existi- 
rían entonces estas tres raíces, reales y negativas: — 4(3% 
— [3 2 y — (3 2 : de las cuales tan sólo la primera corresponde 
al par imaginario que se trata de determinar. Resulta, pues, 
que á las dificultades de formación y resolución de la ecua- 
