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toujours , à partir du point b, une portion de l’are bc comprise entre 
la droite fixe bi et la droite mobile bf. 
Nous venons de voir que la droite bf peut se rapprocher indé- 
finiment de la droite bi, sans que ces deux droites cessent de 
comprendre entre elles une portion de l’arc bc. Cela revient à dire 
qu’aucune portion de droite ne peut, à partir du point b, rester 
comprise entre la droite bi et l’arc bii. Il s’ensuit que la droite bi 
est, de toutes les droites passant par le point b , celle qui se rap- 
proche le plus de l’arc bn, dans le voisinage de ce point. La droite 
bi, ainsi déterminée , est nécessairement unique : on la distingue 
de toutes les droites passant par le point b en la désignant sous le 
nom de tangente ou sous le nom de directrice , selon qu’on la con- 
sidère par rapport à la courbe décrite, ou par rapport au point 
décrivant. 
Nous avons supposé la vitesse u' continûment croissante de b 
en o. La démonstration se ferait de la même manière, si, de b en 
o, la vitesse u' était constamment décroissante. La seule différence 
consisterait en ce qu’au lieu de s’abaisser au-dessous de la droite 
bi, l’arc bn et la droite bf s’élèveraient au-dessus. 
Concluons que, dans la description d’une courbe par un point, 
la vitesse de ce point a une direction incessamment variable. 
Concluons, en outre, que cette direction est, pour chaque position 
du point décrivant , celle de la tangente à la courbe décrite J . 
4. La vitesse u peut être quelconque, constante ou variable. 
Dans tous les cas, la démonstration du n° 3 se fait de la même ma- 
nière, et l’on voit aisément que la résultante des vitesses u, iï est 
1 Les considérations qui précèdent suffisent pour établir la méthode des 
tangentes créée par Roberval , et exposée, comme il suit, dans les Mémoires de 
t Académie royale des sciences , année 1690. 
Principe. — « La direction du mouvement d’un point qui décrit une ligne 
» courbe, est la touchante de la ligne courbe en chaque position de ce point. » 
Règle générale. — « Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe ( qui 
» vous seront données), examinez les divers mouvements qu’a le point qui la 
» décrit, à l’endroit où vous voulez mener la touchante. De tous ces mouve- 
» ments, composez-en un seul : tirez la ligne de direction du mouvement 
» composé ; vous aurez la touchante de la ligne courbe. » 
Ce principe et cette règle donnent, dans la plupart des cas, le moyen de 
