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11 est souvent utile de considérer à part et exclusivement la 
direction affectée dans l’espace par le plan mobile. Le mouvement 
angulaire qui correspond aux changements de cette direction se 
réduit à la rotation composante établie autour de la caractéris- 
tique. Il suffit donc de déterminer cette composante et l’on peut 
faire abstraction de la rotation établie autour de la normale. 
S’agit-il d’une droite? Imaginons une autre droite, assujettie à 
passer par un point fixe o et à rester parallèle à la droite donnée. 
L’identité qui subsiste entre les mouvements angulaires simul- 
tanés de ces deux droites permet de substituer l’un à l’autre, et 
réciproquement. Tout se réduit donc au mouvement d’une droite 
qui tourne autour d’un de ses points supposé fixe. Considérons ce 
dernier mouvement. 
Soit m un point de la droite mobile, autre que le point o, et v 
la vitesse actuelle de ce point. Si nous désignons par Q le plan 
mené par la droite om perpendiculairement il la direction de la 
vitesse v , il est visible que l’état de mouvement de la droite mo- 
bile est réductible à une rotation dont l’axe peut être choisi comme 
on veut parmi toutes les droites tracées dans le plan Q à partir du 
point o *. 
S’agit-il en dernier lieu de deux droites mobiles? Considérons 
un plan P, assujetti à rester parallèle à ces droites et tournant en 
conséquence autour de sa caractéristique. La rotation propre à 
chacune des droites mobiles est décomposablc en deux autres, 
l’une autour d’un axe perpendiculaire au plan P, l’autre autour 
d’un axe situé dans ce même plan. Cela posé, on peut établir 
très-simplement le théorème énoncé comme il suit (n° 35) : 
mouvement sur lui-même, chacun de ses points décrit une trajectoire qui le 
coupe à angle droit. 
Toute droite tracée dans le plan mobile par le point décrivant s’enroule sur 
le lieu des caractéristiques suivant une développée de la trajectoire de ce 
point. 
Parmi les droites, en nombre infini, qu’on peut ainsi prendre pour axes 
instantanés de rotation , une seule est exclue : c’est la droite mobile. La vitesse 
de rotation change avec la droite choisie pour axe instantané : elle qsl la 
moindre possible , lorsque cet axe est pris à angle droit sur la droite mobile. 
