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Cela posé, entrons en matière. 
Dans la description dune courbe par un point, le point décri- 
vant peut être considéré comme glissant sur la directrice en même 
temps que la directrice tourne autour du point décrivant. La ro- 
tation de la directrice autour du point décrivant a pour effet 
unique de changer incessamment la direction de ce point : elle 
n’altère en rien sa vitesse considérée comme grandeur, ni Y étendue 
linéaire décrite en vertu de cette même vitesse. De là résultent 
les relations suivantes existant entre les longueurs décrites simul- 
tanément sur des lignes quelconques et les vitesses correspondantes 
des points qui décrivent ces longueurs : 
1° Lorsque les vitesses des points décrivants passent en même 
temps par les mêmes degrés de grandeur , les longueurs décrites 
simultanément sont constamment égales. 
2° Lorsque les longueurs décrites simultanément sont constam- 
ment égales, les vitesses des points décrivants passent en même 
temps par les mêmes degrés de grandeur. 
3° Lorsqu’on compare entre elles , d’une part , des longueurs 
décrites simultanément sur des lignes quelconques , d’autre part , 
les grandeurs des vitesses simultanées des points décrivants , on 
peut , sans altérer en rien les rapports cherchés, substituer à 
tangulaires mm', m'q, on , il vient de même, pour composante parallèle à m'q, 
v. sin. G. 
Les composantes v sin. oc , v sin. G, sont évidemment les vitesses simultanées 
avec lesquelles croissent les segments m'p, m'q. En outre, il y a lieu d’obser- 
ver qu’au sortir du lieu o , on a d’abord et en même temps 
tx o , G = ang. (not.). 
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Gela posé, puisque l’angle a commence par être nul, il s’ensuit qu’il reste 
constamment inférieur à l’angle G pour toute l’étendue d’un certain arc g , 
compté, à partir du point o, sur la trajectoire du point m. Or, aussi longtemps 
que l’angle a reste moindre que l’angle G, la vitesse v sin. ce est et demeure 
plus petite que la vitesse v sin. G. La conséquence évidente est que le seg- 
ment m'p est constamment inférieur au segment m'q pour toute retendue de 
l’arc g , et qu’il en est de même de la distance mp comparée à la distance mq. 
De là résulte immédiatement la proposition énoncée plus haut. 
