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5° Soient m, m', m" trois points décrivants , v, v% v" leurs 
vitesses respectives simultanées , 1, Y, 1" trois longueurs quelcon- 
ques décrites simultanément par ces points; si, pendant la des- 
cription de ces longueurs on a toujours, 
il en résulte , 
et réciproquement (i ). 
v = v' v" , 
l = V -f- 
cercle concentrique à la première , et qu’il se meut sur cette circonférence 
en même temps et avec la même vitesse que le point m' sur la ligne qu’il 
décrit. Il suit de là qu’on peut remplacer les deux lignes données par deux cir- 
conférences de cercle concentriques et décrites simultanément par deux points 
d’un seul et même rayon. Or, en ce qui concerne ces circonférences , la pre- 
mière relation implique évidemment la seconde, et réciproquement. 11 en est 
donc de même relativement aux lignes quelconques décrites simultanément par- 
les points m , m'. 
1 Supposons que l’on ait 
v = v' -+- v" , 
et démontrons qu’il en résulte nécessairement 
;=r + r. 
Soit une droite D. Imaginons sur cette droite un point n qui s’y meuve en 
même temps et avec la même vitesse que le point m' sur la ligne qu’il décrit. 
Les longueurs décrites simultanément par le point n sur la droite D, et par le 
point m’ sur sa trajectoire, sont constamment égales. Imaginons, en outre, 
que la droite D glisse sur elle-même, dans le même sens que le point n , en 
même temps et avec la même vitesse que le point m" sur la ligne qu’il décrit. 
11 y a, dès lors, égalité constante entre deux longueurs quelconques décrites 
simultanément, l’une par le point m" sur sa trajectoire, l’autre par chacun 
des points de la droite D. Il s’ensuit aussi que les longueurs décrites par le 
point n dans l'espace, sont constamment égales à la somme des longueurs 
décrites simultanément par les points m' et m " sur leurs trajectoires respec- 
tives. Eu égard au double mouvement qui l’anime suivant une même direc- 
tion et dans un même sens , le point n se meut avec une vitesse totale exprimée 
par la somme v' -h v ", et par conséquent égale à v. Or, par hypothèse, v est 
précisément la vitesse du point m sur sa trajectoire. La conséquence est donc 
que les longueurs décrites simultanément par les points m et n sont constam- 
ment égales. 
Cela posé, / étant, pour le point m, une de ces longueurs, nous savons 
