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Ces trois propositions se démontrent sans la moindre difficulté, 
le p premières, en considérant deux points assujettis à rester sur 
un même rayon et à décrire en même temps deux circonférences 
concentriques; la dernière, en supposant le point m' mobile sur 
une droite et l’obligeant à s’y mouvoir avec la vitesse v\ tandis 
que la droite glisse sur elle-même avec la vitesse v". 
5. Les notions qui précèdent renferment en principe toute la 
théorie de la rectification des courbes. Elles s’appliquent de même 
à la quadrature des aires et à la cubature des solides. Plus géné- 
ralement encore, elles s’étendent à toutes les opérations désignées 
sous le nom d 'intégrations. 
Lorsqu’un point décrit une courbe, on peut concevoir un autre 
point décrivant une droite et supposer que, de part et d’autre, les 
vitesses des deux points passent, en même temps, par les mêmes 
degrés de grandeur. La conséquence est que deux longueurs quel- 
conques, décrites simultanément, l’une sur la courbe, l'autre sur 
la droite, sont toujours égales, et peuvent ainsi se substituer l’une 
à l’autre. C’est sur ce principe élémentaire que se fonde toute la 
théorie de la rectification des courbes. En ce qui concerne les qua- 
dratures et les cubatures, de même que toutes les autres opéra- 
tions analogues, il suffit d’un simple artifice pour rendre le même 
principe immédiatement applicable. 
Voici quel est cet artifice. 
On prend pour équivalent numérique de chacune des grandeurs 
variables que l’on considère une longueur décrite par un point 
mobile et composée avec l imité linéaire comme la grandeur con- 
sidérée se compose avec son unité propre. Cela fait, tout se réduit 
à comparer entre elles, d’une part, des longueurs décrites simul- 
tanément, d’autre part, les vitesses correspondantes et simulta- 
nées des points décrivants. 
déjà que l’autre est, pour le point n, la somme des longueurs décrites simul- 
tanément par les points m' et m", c’est-à-dire Z'-t-/". On a donc, 
/ = /'-+- T C. Q. F. D. 
La proposition réciproque se démontre delà même manière. 
