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générale qui se combine avec les précédentes et comprend ainsi 
tous les cas possibles d’application. Cette règle peut s’énoncer 
comme il suit : 
La différentielle d’une fonction composée ou complexe est la 
somme des différentielles qu’on obtient en distinguant dans la 
fonction ses éléments variables, et en opérant successivement 
pour chaque élément distinct , comme s’il était seul variable, 
tandis que tous les autres sont supposés constants l . 
1 Le procédé fourni par la méthode des limites conduit directement et très- 
simplement à ce résultat. 
Observons d’abord que la limite du produit de plusieurs facteurs est égale 
au produit des limites respectives de ces mêmes facteurs. 
Cela posé , soit la relation générale 
(!)•••• s = f(x, y). 
Par hypothèse les grandeurs x, y varient en même temps et avec conti- 
nuité. De là résulte entre ces grandeurs une relation qui peut être détermi- 
née ou arbitraire , mais qui , dans tous les cas, peut s’exprimer de la manière 
suivante : 
( 2 ) y— ?{æ). 
L’équation (1) devient, eu égard à l’équation (2), 
(3) z — f{x, f{x) = F (a?), 
et l’on en déduit, conformément à la formule (2) du n° 8, 
z a F(,-r) /êr-f- A x,y-\~ A y)— f(x-\-Ax,tj)-\-f{x-\-Ax,ij)—f(x,y) 
— = hm — = lim 
X AX AX 
De là résulte, en premier lieu, 
z .. Ax,y-\-Aÿ)— f(x-h Ax,y) a y f(x+Ax,y)—f(x,y) 
— — hm — — — — • — -t- lim ■ — — — — * 
X AiJ AX AX. 
en second lieu, 
~ = I “F* £'(*> y)’ 
d> Jb 
et, par suite, 
(4) ..... . z = ÿ f y '{x,y) -t- x. fx (x , y). 
Veut -on déduire de l’équation (4) la propriété caractéristique du plan 
