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CHAPITRE IY. 
DIFFERENTIELLES DES ORDRES SUPÉRIEURS. 
âO. Soif 
(!) ?/ = /». 
une fonction quelconque de la variable x. Nous savons qu’en de- 
dans un même plan et passant, l’une par le point m, l’autre par le point n. 
I! est donc tout à fait général , et l’on peut, en conséquence, le formuler comme 
il suit : 
La différentielle de l’aire engendrée par un segment de droite mobile 
dans un plan est égale au produit de ce êegment par la vitesse de circula- 
tion de son point milieu. 
Cet énoncé général comprend le cas particulier où la droite mobile se meut 
par translation. On peut d’ailleurs prendre ce cas à part et le traiter directement. 
Soit z une ordonnée mobile dans un plan et limitée par deux droites fixes 
cib , cd. L’ordonnée z , représentée par mp, se 
* ’ meut en restant perpendiculaire à la droite cd. 
J' Elle engendre ainsi l’aire trapézoïdale ampe. Soit 
l i>i • <r cette aire et H une droite menée par le point m 
parallèlement à cd. 
a f L’ordonnée z croît ou décroît selon qu’elle se 
c ^ meut de gauche à droite, ou de droite à gauche 
P au sortir du lieu quelconque mp. Dans le premier 
cas, la vitesse à ne peut être inférieure à x.z : elle est donc égale ou supé- 
rieure à ce produit. Supposons la représentée par (z -t-rç) x : il en résulte 
évidemment que, dans le second cas, elle est exprimée en grandeur par 
(Z — vf) it. Cela posé, imaginons qu’après avoir fait croître Faire a d’une quan- 
tité quelconque A<r, on la fasse décroître de cette même quantité, l’ordonnée 
z et la vitesse x repassant en sens inverse par les mêmes valeurs. L’hypothèse 
admise implique cette conséquence absurde que les longueurs engendrées 
simultanément par deux points, respectivement animés, l’un d’une vitesse 
plus grande (z-x y) x, l’autre d’une vitesse moins grande ( z — y) x, sont 
égales entre elles. Concluons qu’on a nécessairement v = o, et par suite, 
a = zx. 
L’extension que cette formule comporte est d’ailleurs évidente. 
