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34. Le théorème que nous venons d énoncer peut s établir à 
priori de plusieurs façons différentes. Bornons-nous à en donner 
ici une seconde démonstration *. 
Sans rien changer à ce qui précède, supposons l’axe OX déter- 
miné de manière à coïncider avec la caractéristique du plan P, 
cette caractéristique étant prise dans l’hypothèse où le plan P se 
déplace en touchant la surface A le long de la section N y **. A 
l’origine de son déplacement, la tangente T îy est animée de deux 
mouvements simultanés, l’un de translation s’effectuant avec la 
vitesse ÿ, l’autre de rotation autour de la caractéristique OX. Ces 
deux mouvements n’altérant en rien la direction de la tangente T y , 
il s’ensuit que l’on a nécessairement 
(*) S = 
De là résulte la conséquence suivante : 
La séparation des points m l s’effectue, au sortir du lieu O, 
comme s’ils se mouvaient simultanément, avec la vitesse com- 
mune oc sur deux droites distinctes, et qu’en même temps ces 
deux droites, d’abord confondues en OX, s’écartassent l’une de 
l’autre avec la vitesse ij et tournassent parallèlement au plan ZOX , 
l’une autour du point m x , l’autre autour du point m h toutes deux 
d’ailleurs avec une seule et même vitesse â x . 
rotations introduites au lieu de ces \ilesses dans l’énoncé donné comme tra- 
duction de l’équation (6). Pour le voir, il sutïit de faire les remarques suivantes : 
1° La vitesse <x y résulte d’une rotation autour d’un axe perpendiculaire au 
plan ZOX. Elle équivaut , en ce qui concerne la tangente T y , à la rotation 
o:,j : sin XOY autour de l’axe OY ; 
2° La vitesse & résulte d’une rotation autour d’un axe perpendiculaire au 
plan ZOY. Elle équivaut, en ce qui concerne ta tangente U, à la rotation 
Ce : sin XOY autour de l’axe OX. 
11 est clair, en effet, que l’égalité des vitesses angulaires à u et C x implique 
celle des rotations équivalentes <x y : sin XOY, C x : sin XOY. 
Nous renvoyons aux applications géométriques pour d’autres démonstra- 
tions, moins directes peut-être, mais plus rapides et plus simples. 
On sait que ce déplacement commence par rotation autour d’une droite 
passant par le point O et située dans le plan P. G’est cette droite qu’on dé- 
signe sous le nom de caractéristique. 
