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2° Des dérivées successives d’une fonction de plusieurs variables . 
55. Soit f (x , y) une fonction à deux variables; x { , y x deux 
valeurs quelconques déterminées de ces variables; a, b les valeurs 
tourne autour de l’axe oX avec une vitesse représentée par 
y 
U' sin J 1 
R' étant, pour le point o, le rayon de courbure de la section N y . 
Prenons, à partir du point o sur les droites oX, oY, deux longueurs op, oq 
il oc 
l’une op égale au quotient , l’autre oq égale au quotient R ^ ^ • 
Si nous achevons le parallélogramme optq, la diagonale ot représente en 
direction , sens et grandeur la rotation du plan P supposé mobile avec le point 
m t , et tangent en ce point à la surface A. 
Désignons par y, y' les angles que la direction oL fait avec les axes oX, 
oY. Les perpendiculaires abaissées sur oL des points p et q sont représen- 
tées respectivement , la première par 
la deuxième par 
pp' — op sin y — 
ÿ sin y 
R' sin y 
qq r — oq sin y' = 
x sin y' 
R sin >1 
O 11 voit d’ailleurs aisément que la vitesse angulaire de la directrice du 
point m%i sur la ligne N 1 est représentée par la somme de ces deux perpen- 
diculaires. 
Soit p (pour le point 0 ) le rayon de courbure de la section N*; v — oc la 
vitesse du point m t , au sortir du lieu 0 (fig. 54); w la vilesse angulaire de la 
directrice du point mi. On a d’abord 
(i) 
1 w 1 / ÿ sin y 
p v oc \R' sin y 
et, en même temps (voir fig. 54, page 145) 
x sin y' \ 
R sin ^ / * 
x sin J? ÿ sin >1 
(“2). ........ oc — — r = 
sin y sin y 
De là résulte, en substituant, 
(5). 
sin 2 vj 
P 
sin 2 y' 
~R 
sin 2 y 
L’équation (5) est l’équation polaire d’une ellipse ayant son centre en 0 et 
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