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Un voit ainsi que, dans le cas de deux dérivations laites suc- 
cessivement par rapport à deux variables, le résultat définitif est 
indépendant de l’ordre suivi dans ces dérivations. Cette consé- 
quence s’étend d’elle-même à un nombre quelconque de dériva- 
tions successives faites sur une même fonction de n variables. De 
là , le principe général énoncé comme il suit : 
Quel que soit l ordre dans lequel on effectue plusieurs dériva- 
tions successives y si l’ordre seul change et que toutes choses 
soient égales d’ailleurs, le résultat définitif reste toujours le 
même. 
quation (2) et divisant par a// 
( Jim — — y) +/'(#, y ) 
(3) . . ) 1111 MJ 
) fx{x, y- f- Ay) — f x '{x, y) 
\ ~ mj 
Cela posé, puisque, par hypothèse, les quantités ax et Ay convergent en 
même temps vers zéro, l’équation (5) devient 
(4). liin 
fjx-^Ax, y+Ay) — f\x, y-^Ay) — f{x-^Ax, y)-vf(x, y) 
Ax. mj 
=r:,y^y). 
Le premier membre de l’équation (4) resterait évidemment le même, si 
l’on répétait les opérations précédentes en opérant sur y , comme on l’a lait 
sur x et réciproquement. 
De là résulte immédiatement : 
<•>) /;.,(*,») « c.q.kd. 
Parlant de ce résultat et procédant directement sur la surface représentée 
par l’équation 
- = f{x, y ), 
on a d’abord comme au n° 53, 
% = V f Xj y('X') y)‘ cos " 01 > À — x t y t x (x , y) cos" S , 
et ensuite, eu égard à l’équation (3), de la présente note 
y Q t oc. O:,, 
cos 2 f cos 2 <x 
De là se déduit, comme conséquence immédiate, le théorème des tangentes 
réciproques établi ci-dessus n° 55. 
