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On a vu comment la marche à suivre, pour la différentiation 
des fonctions élémentaires, peut être à la fois très-simple et très- 
rapide , sans cesser néanmoins d’être purement géométrique. La 
même observation s’applique, en général, à tous les théorèmes 
dont nous avons donné la démonstration et sur lesquels nous nous 
sommes appuyé pour établir les règles dont on a besoin. Parmi 
ces théorèmes, il en est deux moins simples que les autres : l’un a 
pour objet la différentiation des fonctions composées; l’autre est 
relatif à l’identité des résultats fournis par plusieurs dérivations 
successives dont l’ordre seul a été changé. Lorsqu’on veut, ainsi 
que nous l’avons fait, suivre ici la voie purement géométrique, il 
faut d’abord établir la propriété caractéristique du plan tangent à 
une surface et celle des tangentes réciproques : c’est ensuite, en se 
fondant sur ces propriétés que l’on en déduit les deux théorèmes 
rappelés ci-dessus. 11 n’échappera point au lecteur que ces deux 
théorèmes peuvent, comme nous l’avons montré \ se déduire en 
quelques lignes du procédé général fourni par la méthode des 
limites et exposé géométriquement dans le n° 8. Ici donc, s’il y a 
en apparence quelque complication , il suffît pour la faire dispa- 
raître, d’emprunter Je secours de la méthode des limites. Dès 
lors tout devient extrêmement simple, et c'est, sans la moindre 
difficulté, que l’on parvient directement aux deux équations fon- 
damentales 
( 1 ) • Z Zx *+" Z y 
( 2 ) f '*,,(%> y ) = fÿ,A x , y)- 
Veut-on, d’ailleurs, établir, comme conséquence immédiate, la 
propriété caractéristique du plan tangent et celle des tangentes 
conjuguées? Il ne reste plus qu’à considérer la surface représentée 
par l’équation 
( 3 ) * = f(x, y), 
1 Voir les notes clés n os 27 et 55» 
