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fj (x, y) ne dépend pas de la variable x, on qu'au contraire, elle 
en est dépendante. 
Considérons d'abord le premier cas, celui où la dérivée f y [x } y) 
ne dépend pas de la variable x. En ce cas, une même vitesse pa- 
rallèle à l’axe OZ anime, en même temps, tous les points de la 
ligne 5. La conséquence évidente est que cette ligne sort du 
lieu ce' comme si elle était de forme invariable et qu’elle se mût 
par translation avec la vitesse z y parallèle à l’axe OZ. 
Soit m un point mobile sur la ligne s et déterminé en position 
forme subi par la ligne s. On sait, d’ailleurs, que dans la description d’une ligne 
par un point , la vitesse angulaire de la directrice dépend de la courbure de la 
ligne au lieu occupé par le point décrivant, et non pas delà rapidité plus ou 
moins grande avec laquelle cette courbure varie dans le passage d’un lieu à un 
autre. De là résultent immédiatement les déductions suivantes : 
1° La forme affectée par la ligne s en deçà du point m' peut être regardée 
comme invariable à partir de l’instant où le point m sort du lieu n. 
2° Si, plus tard, il y a changement de forme pour la partie de la ligne s 
située au delà du point m', ce changement n’a d’autre effet que de modifier la 
rapidité plus ou moins grande avec laquelle la courbure varie sur la ligne s à 
partir du point m'. 
5° Lorsque le point m sort du lieu n , la directrice de ce point sur la ligne s 
tourne, par rapport à la droite D, avec la même vitesse que si la ligne s persistait 
dans sa forme actuelle. 
4° En désignant cette vitesse par w, la vitesse totale d avec laquelle la di- 
rectrice du point m sur la ligne s tourne dans le plan P, au sortir du lieu n, est 
égale à la somme w «' = à. 
Les résultats qui précèdent se résument en un théorème susceptible d’être 
énoncé comme il suit : 
Lorsqu’une ligne de forme incessamment variable est décrite par un point 
mobile, l’état de mouvement de ce point et celui de sa directrice sont les 
mêmes cpœ si la ligne persistait clans la forme qu’elle affecte à l’instant que 
l’on considère , rien, d’ailleurs , n’étant changé ni dans la vitesse du lieu oc- 
cupé sur la ligne par le point décrivant , ni dans la vitesse angulaire de la 
tangente en ce lieu. 
La partie de cette démonstration qui se rapporte à la détermination de la 
vitesse totale u suffit pour qu’on puisse en déduire immédiatement la relation 
générale z =z x -+- z yy et , comme conséquence de cette relation , l’égalité finale 
à = «' w. (Voir au besoin le texte du n° 58 et la première note du n° 59.) 
