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G l’angle ZOX, supposé quelconque, 
t le rapport sin « : sin ( G — a ) , 
m" la projection du point m sur la ligne cc', cette projection étant 
faite par une droite parallèle à l’axe OZ. 
De même qu’en se séparant du point n, le point m" détermine 
la direction première de la tangente D , de même en s’écartant 
l’un de l’autre au sortir du lieu n les points m,m' déterminent 
la vitesse angulaire de cette même tangente à l’origine de son 
déplacement. 
Soit n' un point pris sur la droite D, alors que cette droite 
touche en n la ligne cc\ Tirons l’ordon- 
née p'n' et désignons par p un point 
mobile assujetti à rester en même temps 
sur cette ordonnée et sur la droite D. 
Plaçons-nous à l’instant précis où la 
droite D sort du lieu nn' et représentons 
par u l’excès de la vitesse du point p sur 
celle du point m\ Il est visible que la rotation de la droite D 
Fig. 38. 
l’ordonnée pn. Appliquée à l’équation (1), la règle du n° 58 donne immédia- 
tement 
(2) ........ ûC := <X x -f- <X,j 
L’équation (2) exprime qu’à l’instant précis où le point m sort du lieu n, 
la directrice du point m sur sa trajectoire tourne comme si la ligne s con- 
servait sa forme actuelle ce' et tournait avec la vitesse angulaire â y . Ce ré-, 
sultat peut s’établir à priori par des considérations très- simples. En effet,, 
puisque le changement de forme est soumis, par hypothèse , à la loi de con- 
tinuité, il serait absurde de supposer que la rotation de la directrice du point 
m sur la ligne s pût être, par rapport à cette ligne, moindre ou plus grande 
que le comporte la courbure actuelle au point n. On voit ainsi que l’équa- 
tion (2) subsiste nécessairement , la ligne s pouvant être considérée comme 
invariable de forme, et dès lors comme n’ayant d’autre mouvement angu- 
laire que celui qui correspond à son déplacement et qui commence avec la 
vitesse à y . 
Il est aisé de voir comment les déductions du n° 58 conduisent directe- 
ment à la théorie des enveloppes, comment aussi l’extension qu’elles compor- 
tent permet de les prendre pour base du calcul des variations. Nous revien - 
drons plus loin sur ces applications. 
