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et, ensuite, eu égard aux égalités (3) et (4), 
i 
(5) y y) = i. 
Cela posé, observons que la quantité t a pour expression géné- 
rale le rapport de la vitesse z x — x f' x (x, y) à la vitesse oc. On peut 
donc écrire généralement 
/*(*> y) = t. 
De là résulte, en différentiant, dans l’hypothèse x = constante , 
( 6 ) ÿfL.A x >y) — ' u 
La comparaison des équations (5) et (6) conduit immédiatement 
à la relation finale 
f'..A x > y) = f"y.A x > y )• 
On voit ainsi que, dans le cas de deux dérivations faites succes- 
sivement par rapport à deux variables, le résultat définitif est 
indépendant de l’ordre suivi dans ces dérivations. Cette consé- 
quence s'étend d'elle-même à un nombre quelconque de dériva- 
tions successives faites sur une même fonction de n variables. De 
là le principe général énoncé comme i! suit : 
Quel que soit l’ordre dans lequel on effectue plusieurs dériva- 
tions successives , si V ordre seid change et que toutes choses 
soient égales d’ailleurs, le résultat définitif reste toujours le 
même. 
40. Revenons à la règle générale du n° (58). Elle implique, 
comme cas particulier, la règle suivante : 
La différentielle d'un produit est la somme des résultats qu’on 
obtient en substituant successivement à chaque facteur sa propre 
différentielle. 
port à la variable#. On peut voir, à la fin du n° 55, quelles sont les conven- 
tions adoptées pour représenter, en général, les dérivées successives et par- 
tielles d’une même fonction à plusieurs variables. 
