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année) , ne coûte à la compagnie que aq ; vu que, avec cette somme 
aq , versée dans sa caisse à l’époque initiale, elle pourrait payer 
a à la fin de la première année. De plus , la probabilité qu’elle 
devra effectuer ce payement est 
Vn Vn^. | 
V n 
, égale à la probabi- 
lité qu’une personne âgée de n années mourra dans le courant 
de la première année de son assurance. La valeur mathémati- 
que du premier payement à effectuer par la compagnie est donc 
( Vn Vn- f-1 ) 
ü( ï Ç 
Un 
Pour la même raison, la somme éventuelle a, si elle est payée 
par la compagnie à la fin de la seconde année, ne vaut que aq 2 
lorsqu’on la rapporte à l’époque initiale. La probabilité qu’elle 
devra être payée est d’ailleurs — — - : la valeur mathéma- 
V n 
tique du payement, pour décès survenu pendant la deuxième 
année d’assurance, est donc ur/ 2 -~ w+ i — et ainsi de suite 
1 v n 
jusqu’à l’épuisement de la table de mortalité, c’est-à-dire jus- 
qu’à r 99 (*). 
Or, les risques de la compagnie et de l’assuré devant être égaux 
(abstraction laite des frais de gestion), il suffit, pour mettre le 
problème en équation , d’égaler la prime unique à verser par l’as- 
suré à la somme des primes éventuelles à payer par la compa- 
gnie. On a donc la formule 
D a 
1 n 
aq [ V n H- V n + I q -h Vn + v n + 3 <? 3 
’ (Vu -f- 1 
V n + 2 q -+- V n + 3 q 2 
V 99 ( l 
^99 ( 1 
99 — n 
98 — Il 
... (a). 
Remarqua. — Dans le raisonnement que nous venons de faire, 
nous avons supposé que les payements dus par la compagnie, 
pour les décès survenus dans le cours d’une année, étaient effec- 
tués le dernier jour de cette année; mais comme ils se font en 
réalité immédiatement après les décès, il faut, pour être plus 
exact, regarder ces derniers comme distribués d’une manière uni- 
lorme sur toute l’année, et prendre le milieu de celle-ci comme 
(*) En effet, les tables de mortalité les plus lentes permettent, sans erreur 
appréciable, de supposer rioo= 0. 
