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(v n — v n + i )a; mais cette somme, rapportée à l’époque initiale, 
ne lui coûte que ( v n — v n + , ) aq. 
Pendant la deuxième année, il meurt (v n + i — v H + 2 ) asso- 
ciés; et la compagnie paye, à la fin de cette deuxième année, 
(v n + { — v n + 2 )ct, qui ne valent en réalité que (v H + l — v„ + 2 ) aq* 2 . 
On peut continuer ce raisonnement jusqu’à la fin de la k me an- 
née, époque à laquelle la compagnie fait son dernier payement 
( v n -j- k - 1 _[_ k ) aq'\ 
Egalant ces dépenses successives à la recette primitive, et 
désignant par ( ” + /i:) P“ la prime de contre-assurance à verser par 
chacun des v n associés, on a 
X = V n X (M +/) P“ = a | {Vn — V tl +t) (j -V- (V n +\ — 1W2 ) (f •+- (t>w+2 — V n +i) (f 
-4- .... {Vn+k-i — Vn + k) q k j .... (O ; 
d’où, conformément à la notation adoptée dans l’article (I), 
<* +t >p; = — — s;-*-*-* 
Vn q 1 ' 
Deuxième cas. — Les v n contre-assurés ont déjà versé une cer- 
taine somme, soit d’un seul coup, soit par annuités, mais ils doi- 
vent encore luire k versements annuels : quelle prime doit-on 
exiger d’eux pour contre-assurer le tout? 
La prime exigible pour contre-assurer les versements déjà 
effectués se calculera par la formule précédente. Pour trouver 
celle qui est relative aux annuités éventuelles que les v n associés 
ont encore à fournir, on raisonnera de la manière suivante. 
Pendant la première année à partir du contrat, il meurt 
(v H — v H+i ) associés, pour chacun desquels la compagnie de 
contre-assurance doit rembourser une annuité , a : la dé- 
pense qu’elle fait, à la fin de cette première année, est donc 
(v n — v n + l )a, et cette somme, rapportée à l’époque initiale, 
vaut ( v u — v n + , ) aq. 
Pendant la deuxième année, il meurt (v n+1 — v w+2 ) contre- 
assurés, ayant versé chacun deux annuités : la somme à rem- 
bourser, à la fin de cette deuxième année, a donc pour valeur 
(v H+i — v H + i ) X 
