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Pendant la k mc année, le nombre des décès est (v n + k _ 
— v n + a-); chaque associé qui meurt dans le courant de cette 
année a d’ailleurs versé k annuités : la compagnie rembourse 
donc ( v n + k _ i — v n + k) X kaq k . Par conséquent la prime à 
verser, à l’instant du contrat, par chacun des v„ contre-assurés, 
est 
(«+*)p* == iL — v n +î) q + 2{v n - M — v n +i) q 2 -4- 3 (v H+ i — v H +z) g 3 -*-.... 
Vn \ 
k (v„+k~ 1 — V n +k) q k j •••• («)■ 
D’après la table de Deparcieux, le nombre des décès annuels 
est constant entre les âges de dix et de cinquante ans; et sur 
huit cent quatre-vingts individus pris à l’âge de dix ans, il en 
meurt annuellement huit pendant cette période de la vie. On peut 
donc, entre ces deux âges, mettre l’expression précédente sous 
la forme plus simple 
* n 
aqb l \ — q L 1 
v n I (1— q) 2 
(/t-4-1) q k \ 
i — q I 
U*')» 
D représentant le nombre annuel des décès sur v n individus âgés 
de dix ans. 
Du reste, lorsque le capital progressif à payer par la compagnie 
suit, comme dans le cas des contre-assurances, la progression 
arithmétique a, 5 les primes de la formule (u) peu- 
vent se déduire de celles de la formule (t) par un calcul arithmé- 
tique très-simple. 
Désignons en effet par P 1? P.,, P 3 P* les primes fournies par 
la formule (t), pour les cas où l’association mutuelle doit durer 
encore 1,2, 5.... k années; par P/, P/, P/, P/ les primes 
analogues à calculer par la formule (u) ; nous avons 
aq , aq 
Pj = -7- [Vn ~ + 1); 1» 4 = — ( Vn — Vn- f l), d’OÙ .... P, = Pj 
Vn Vn 
aq aq- , aq 
P 2 — • •— ( V n ’ Vn 4- 1 ) “P - ( Vn 4 - I Vn -4-2)5 P 2 
Vn Vn Vn 
Zaq- 
2 — 7 — ( Vn V,i 4- 1 ) 
P — {Vn+l — V n +ï) ; U’OU P' 2 = P 2 H- (P 2 — P,) = 2P 2 — P,. 
V n 
