Lagrange donne à peine un exemple unique, propre déjà h 
montrer les dilTicultés de sa méthode. 
IM. Dirlvscn discute, il est vrai, diverses questions particulières 
dans lesquelles il rcconnait exactement la nature de rextréme 
grandeur; mais rautcur opère par la voie directe de la variation 
seconde, de sorte que le succès dépend ici de la nature des ques- 
tions particulières. 
Le seul de ses exemples où il soit nécessaire d’employer le pro- 
cédé de Legendre , est celui de la page 20S; et, dans ce cas, les con- 
clusions de M. Dircksen sont dépourvues de précision. 
M. Straucli(*) procède d une manière fort différente, et applique 
hardiment cette meme méthode à un nombre considérable d’exem- 
ples tirés du grand traité d’Euler : c’est donc à cet auteur que je 
puis naturellement recourir, quand il s’agit de prouver, par la dis- 
cussion meme des faits, le peu d’exactitude de ses transformations; 
cette discussion des faits est d’autant plus indispensable, qu’elle 
nous olTre le moyen de tenir compte de la nature de certaines 
constantes, car celles-ci présentent des difficultés spéciales qui 
varient d’un cas particulier à l’autre. 
C’est pourquoi je serai obligé de reproduire la solution bien 
connue de diverses questions concernant Vextrème grandeur des 
intégrales définies; car c’est à cette condition seulement que je 
pourrai présenter des explications intelligibles, et réussir à com- 
bler une lacune considérable dans le calcul des variations. 
§ 1 — Notions subsidiaires sur les intégrales définies. 
On sait que X désignant une fonction de x qui eonserve le 
même signe dans un intervalle d’abscisses [a ! — «), l’intégrale 
X dx est de même signe que la fonction X. Nous ferons souvent 
a 
tacitement usage de cet énoncé. Il en résulte que marquant une 
fonction de x qui change de signe à partir de = a, a étant com- 
pris entre o, a\ « > « < cd, la quantité y .z.dx doit avoir le signe 
(*) Variations Calcul. Zuricli, 1849. 
