( Il ) 
Ainsi l’extrême grandeur existe, si pour un point quelconque de 
, . , 1. . T . 1, 1 • dN dP 
la courbe, intermediaire aux limites d abscisses, on a — , — ou 
æy æv 
— , - — de même signe, et en outre 
’ à'f ^ 
æy æ\ i æ\ y 
dy^ dp^ \ dydp / ' ^ ’ 
car à cette condition chaque terme élémentaire 
dN dP , ^ dS 
— ■+- -r- °P - ‘ — dy • dp 
dy dp dp 
relatif à un point quelconque intermédiaire de la courbe donnée 
par l’équation indéfinie, ne saurait changer de signe, quelles que 
soient les valeurs de dp qui s’y rapportent; donc, en vertu du 
théorème du § 1, la quantité à . j sera constamment positive ou 
' , d^V d^y 
négative, et le minimum a, par conséquent, heu pour 
1/ * 
positifs à la fois, tandis que le maximum subsiste, si ces coeffi- 
cients sont négatifs à la fois, l’inégalité (6) étant censée satisfaite 
également dans tout l’intervalle a' — a. 
Mais il ne suit nullement de là que l’extrême grandeur soit 
seulement possible sous toutes ces conditions, contrairement à ce 
qu’on admet parfois. 
Exemple I. — Le cas de la brachistoclirone dans le vide et 
dans un plan vertical nous offre un exemple pour lequel toutes 
les conditions énoncées sont satisfaites d’elles-mêmes : r dési- 
gnant la durée de chute sur la courbe entre les deux points fixes 
donnés, et l’axe des x étant vertical, on aura 
\^i pü 
— a 
1 + çiY cPY 
Y— 1— , — =0, = 0, = (), 
)/ JC - a ^^y^p 
d\ J) d^y 2 - 4-29 
^ æ — a . -4- p^ ^^P^ 2l^,j- — a . (1-4- p^ f^- 
