( 24 ) 
rnr moyennant les dernières eonditions, la quantité 
f/2 U 
dp 
r 
2 dp . dcf 
dpdq 
etc... 
ne saurait elianger de signe, quelles que soient les quantités vir- 
tuelles dp , d(i... en grandeur et en signes. Or pour maintenir Tin- 
dépendance absolue entre dp, dq , il n’est pas permis de faire 
iisace des conditions-- = 0,^-- = 0, ou de l’une d’elles seule- 
^ dp dq 
ment, pour en déduire q en p et dq en dp, dans le but de ra- 
mener le V .ü à une forme plus simple. Donc, en vertu de cette 
indépendance de p, q, il faut concevoir la valeur trinôme du a .U, 
formée de la même manière que si les ésralités — j ^ = 0 
^ ^ dp dq 
n’avaient pas lieu. Celles-ci sont donc uniquement destinées à faire 
eonnaitre les valeurs des variables pour lesquelles la fonction ü 
peut devenir une extrême grandeur; mais il n’y a certes aucune 
raison à priori à alléguer et pour laquelle le puisse et doive 
conserver une forme trinôme analogue à celle du a .U. Et puis- 
qu il est prouvé que cette forme se ramène à la forme binôme de 
réquation (4) ou (5), d’après une marche conforme à l’esprit 
même de la définition des variations, il devient clair que l’idée 
de Legendre, Lagrange, etc., d’opérer de prime abord sur la forme 
trinôme de àj n’est pas heureuse et qu’elle n’a pu qu’engager les 
géomètres dans une voie sans issue; de plus, avant de chercher à 
la partager en deux pai'ties, l’une intégrée et l’autre non inté- 
grée, mais en elle-même positive ou négative, il fallait examiner 
si la forme du àj même ne pouvait se simplifier, et c’est ce qu’une 
fausse analogie a empêché de faire. 
I/analogie véritable qui existe entre les deux cas n’est pas du 
tout une analogie de formules : c’est une ressemblance d’idées. 
Elle consiste à maintenir f indépendance des variations des varia- 
bles relatives et l’indépendance des différentielles des variables 
indépendantes. 
La première condition se traduit sulfisamment par la formule 
f/N 
rpS J'y 
dy 
La seconde condition revient à ne faire usage d’aucune des con- 
