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12. — Exemple I. — Déterminer l’arc courbe entre deux points 
donnés qui intercepte ^ avec ses rayons de courbure extrêmes 
et avec sa développée, une aire minimum (*). 
L’expression de la double aire aura la valeur 
j 
a' 
(1 
±g 
a 
dx . 
Ici le double signe de q doit être mis en évidence, et l’on doit 
prendre (-»-), dans le cas où la courbe demandée tourne sa con- 
vexité à l’axe des x, et le signe ( — ) dans le cas contraire; car 
l’expression d’une aire isolée doit ou peut être prise comme 
quantité positive. 
En vertu de 
q 
Ni = N = 0, P = 
4p (1 -4- P®) 
Q= 
pr- 
êt l’équation (I) donnera 
2 (1 -+- p 2)2 
E.p + F 
E, F marquant deux constantes d’intégration. Notre méthode de- 
vient ici d’une application difficile, parce qu’il est peu aisé de 
faire les substitutions qu’elle suppose; néanmoins, on pourrait 
encore obtenir les dérivées , sans qu’on en puisse conclure 
avec précision qu’elles ont un signe commun positif ou négatif, 
leurs valeurs dépendant des constantes E, F, aussi bien que de 
p, q ; il paraît donc préférable de beaucoup d’examiner la possi- 
bilité d’une solution par la voie directe du § 2. Or par N = o, 
(*) Straucli, tome II, p. 289, etc. 
