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par intuition, dans quelques cas particuliers. Cette déduction pro- 
vient en effet de la manière peu exacte d’entendre les limites fixes 
d’intégration , en bornant exclusivement à celles-ci les résultats 
fournis par le calcul des variations. Nous verrons plus bas qu’en 
effet cette tbèse est inadmissible, et c’est ce que démontre déjà le 
cas actuel ; car l’analyse précédente ne fournit pas seulement les 
résultats obtenus pour les deux points assignés (o, 6, c) (a',6',c') 
pris sur la surface, mais elle exprime encore que la courbe qu’elle 
donne est la plus courte distance entre deux quelconques de ses 
points. 
^ 25 . 
JYota. — Pour montrer brièvement que la courbe d’équilibre 
d’un fil tendu sur la surface et que la trajectoire d’un mobile lancé 
à la surface sont fournies par les équations mêmes de la plus courte 
distance, il convient de nous arrêter un instant à ces deux ques- 
tions, d’autant plus que, dans les ouvrages de mécanique, on ne 
met cette identité en évidence que par une voie laborieuse et indi- 
recte où l’on a même recours à la notion de la moindre action qui 
doit rester étrangère à la question. 
Dans ce but, en rechercbant d’abord les équations d’équilibre 
d’un fil fixé par ses extrémités et soumis en cbacun de ses points 
à une force propre, dont les composantes rapportées à l’unité de 
longueur soient P, Q, R parallèlement aux axes coordonnés res- 
pectifs, et pour le point x, y ^ z, on obtiendra 
P,d5 -1- d- 
= 0 , Q .ds d. 
= 0 , 
R . -h d. 
r désigne la tension du fil en (æ, yjz) et s l’arc courbe : de là 
on déduit aisément, d’après les auteurs, 
d” -f- P. do? -1- Q.di/ -f- R.dz = 0. 
Dans le cas spécial où le fil doit seulement être tendu sur une 
surface convexe, et qu’il n’y a pas de forces propres, il ne se 
