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Ainsi la résistance ou la réaction normale de la surface contre un 
mobile rapporté à runité de masse est en raison directe de sa 
force vive, et inverse du rayon de courbure de la trajectoire en 
chaque point; donc aussi la réaction d’inertie du mobile, ou sa 
force centrifuge ©, doit avoir une valeur égale et contraire ; 
ce qui nous ramène à une théorie connue. 
En substituant ensuite celte valeur de N , dans les équations qui 
la produisent par leur combinaison, on obtient 
1 
U dx 
r 
X d. 
vdt 
égalités qui, en vertu de vcll — ds, reviennent encore une fois aux 
équations {a) de la plus courte ligne tracée sur la surface, entre le 
point de départ et run quelconque de ses autres points. 
La simplification de la solution des trois questions revient donc 
évidemment à chercher d’abord directement par le calcul des va- 
riations la plus courte distance entre deux points donnés à la sur- 
face, et à obtenir ensuite, sans passer par des transformations 
superflues et sans recourir à aucune notion étrangère, les memes 
équations de condition pour la courbe d’équilibre d’un fil et la 
trajectoire d’un mobile, le frottement et les forces propres étant 
milles. Ensuite on peut compléter cet exposé par quelques consi- 
dérations utiles : si le mobile est lancé à la surface à partir d’un 
point donné, et suivant une direction connue qui coïncide avec 
l’élément d’une des deux lignes de courbure en ce point, il ne 
quittera pas cette ligne dans son trajet, car celle-ci jouit de la pro- 
priété de marquer la plus courte distance entre l’origine et la 
seconde extrémité de son arc; de meme si le fil est tendu suivant 
la tangente à la ligne de courbure, au point initial, il faut, pour 
l’équilibre, qu’il suive cette courbe dans une étendue quelconque; 
mais si cette condition de la direction initiale n’est pas remplie, la 
trajectoire ou la courbe d’équilibre diffère de la ligne de courbure, 
sans qu’elle cesse néanmoins d’étre la plus courte distance entre 
