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de la distance à un centre fixe, la quantité J'vds ou l’intégrale du 
produit de la vitesse par l'élément de chemin décrit, prise entre 
deux points quelconques A, B de la trajectoire, est un minimum. 
Autrement dit: L’intégraley^m du produit de la force vive 
d’un mobile de masse m, par l’élément du temps, étant prise 
entre deux limites quelconques, est toujours un minimum, quand 
le mobile libre ou assujetti à une surface est soumis à une force 
nulle ou constante, ou seulement fonction de la distance à un 
centre fixe. 
Jusqu’à ce jour, on a simplement démontré que la variation de 
l’intégrale proposée est nulle; et la nature de la question a porté 
les géomètres à supposer qu’il y a généralement minimum, La- 
grange admettait en effet que le maximum est possible (*) ; la ma- 
nière de Poisson (**) de s’exprimer sur ce sujet laisse également le 
lecteur dans le doute. 
Or nous allons démontrer qu’il y a toujours minimum, que 
l’exception que semblent offrir à cet égard certains cas particu- 
liers n’est qu’apparente, et que les difficultés' dans lesquelles on 
est tombé s’évanouissent complètement, quand on envisage le 
principe énoncé dans sa véritable signification. 
D’abord, on a, en vertu des conditions de l’énoncé, 
car {x\ y', z ') , (x", y", z") étant les coordonnées des deirx points 
extrêmes, on aura pour chaque point 
puisque 
dx' 
rjx' 
du' 
dt 
dt 
dx" 
dx" 
du" 
H : — 
dt 
dt 
dx'-- 
= 0..., 
du' -^-7- dz 
dt 
dz" 
dr-^-^dz 
= 0 , 
= 0 , 
C) Mécanique, tome P*’, p. 245. 
Poisson, tome pï*, pp. 296 et 297, et t. II, p. 500. 
