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Si le mobile est assujetti à une surface, il n’est pas meme né- 
cessaire que les deux points A, B soient fixes ; il suffît qu’à chaque 
extrémité, on chemine sur la surface, suivant une direction nor- 
male à l’élément de la trajectoire en ce point, vers des points 
A', B' infiniment voisins de A, B; car cette condition donne pour 
l’élément AA' 
dx . d'x' -t- dy'dy' -4- dz ' . ^ 3 ' = 0, 
et une équation analogue subsiste pour celui BB', normal par 
hypothèse à celui de la courbe même , considéré au point B: 
dx’'^x' H- etc. = 0 , 
ce qui entraîne toujours la condition d / vds — 0; cela signifie 
que, pour l’arc AB de trajectoire, la quantité j vds est ou peut du 
moins cire un minimum comparativement à sa valeur relative à 
tout autre arc courbe tracé entre (A, B) et même entre (A', B'), 
les deux points A', B' étant obtenus de la manière indiquée plus 
haut. 
Comme c'est par le moyen des équations différentielles du mou- 
vement que l’on a trouvé 
dx 
— — rj X -t- etc. > 
c’est-à-dire un résultat complètement intégré, on voit qu’en thèse 
générale, l’équation d. f vds — 0 ne saurait donner aucune équa- 
tion indéfinie, et cela doit arriver, puisque ces équations diffé- 
rentielles dynamiques, fournissant elles -mêmes la trajectoire, 
tiennent lieu d’équations indéfinies. Mais la question se présente 
sous un autre aspect moins insolite, quand une fois on voudra 
employer la condition d. ^ vds = 0 pour la recherche même de 
l'orbite, dans tout cas particulier défini; dès lors, cette égalité à 
zéro donnera les équations indéfinies, aussi bien que l’équation 
aux limites. C’est dans ce sens que le calcul des variations con- 
stitue ici une méthode propre qui souvent peut simplifier la soin- 
