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ce qui donne pour s j 
-^7 — '^y ^ ^ ’ 
et comme cette valeur est nécessairement positive, il s’ensuit 
d’une manière incontestable que la quantité Jvds ou J^mvds est 
toujours un minimum, quelles que soient les limites de l’inté- 
gration. 
Le seul cas particulier où les vitesses composantes x\ y\ z 
seraient constantes semble d’abord présenter ici une exception, 
car on aurait ainsi ^j = 0 par — = 0, etc.; mais une telle 
il du 
hypotlicse ne serait possible que pour un mouvement rectiligne 
uniforme, et dès lors encore J^vds devient un minimum même 
absolu ; ainsi le principe énoncé n’admet pas même cette excep- 
tion. 
Si l’on considère ensuite le cas d’un mobile m lancé sans frotte- 
ment sur une surface, et qui ne serait soumis à aucune force 
sollicitante, on sait que sa vitesse reste constante, partant que le 
chemin décrit devient un minimum , ou la plus courte distance 
tracée sur la surface entre deux quelconques de ses points. Le cas 
de la sphère où la trajectoire est une courbe fermée, ne saurait 
encore présenter aucune exception; car si le mobile est animé 
d’une impulsion initiale qui lui fait d’abord décrire le plus long 
des deux arcs de grand cercle qui passe au point donné A, et au 
point B , ce chemin décrit est toujours le plus court, eu égard à sa 
vitesse initiale; de plus le mobile finira toujours par décrire le 
chemin le plus court absolu en revenant de B vers A. D’ailleurs 
l’arc le plus long entre A et B jouit absolument des mêmes pro- 
priétés par rapport à deux quelconques de ses points que Tare le 
plus court, et c’est cette propriété seule que donne le calcul des 
variations. 
