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NOTE Y. 
La solution des questions traitées dans la note précédente m'a conduit 
à une remarque assez curieuse, et propre à jeter quelque nouveau jour 
sur la nature et le sens intime du calcul des variations, il est clair que , 
dans toute question d’extrême grandeur relative, ce calcul ne saurait 
donner qu’un mmimum à l’exclusion de tout maxhmim ou réciproque- 
ment. Ainsi dans la dernière question, par exemple, l’arc courbe de 
chaînette, passant par deux points donnés, est, parmi tous les arcs de 
meme longueur, celui qui engendre, par sa révolution sur un axe donné, 
la surface convexe de moindre étendue. 
Il est pourtant évident aussi, d’autre part , qu’il doit y avoir par les deux 
mêmes points fixes un are courbe ou un contour polygonal de môme 
longueur, et propre à engendrer par sa rotation sur l’axe une surface 
maximum. Or comme le calcul ne donne et ne saurait donner qu’une 
espèce d’arc, dans le cas actuel l’arc du minimum, il devient, en même 
temps, évident que l’arc du maximum est discontinu, ou que c’est un 
périmètre brisé, uniquement composé de lignes droites; ainsi non-seule- 
ment nous apprenons par l’analyse que, parmi tous les arcs courbes 
égaux de longueur entre deux points, l’arc de chaînette est celui qui en- 
gendre la moindre surface autour de l’axe, que, de plus, le maximum 
de surface est engendré autour du même axe non plus par un arc con- 
tinu, mais par un contour polygonal tracé par les deux points et ayant 
la longueur prescrite. 
Quant <à la forme de ce contour, le calcul par quantités continues ne 
saurait la déterminer. 
Dans la première question de la note précédente, nous avons reconnu 
que de tontes les surfaces de même aire et de révolution, passant par 
deux circonférences de cercle égales, il n’y en a aucune qui puisse donner 
lieu à uii volume maximum ou minimum ; donc la surface demandée 
n’est pas continue; et, pour chaque volume d’extrême grandeur, elle 
doit être un assemblage de surfaces tronc-coniques. Ce manque ou cette 
absence de solution peut même se produire dans les questions d’extrême 
grandeur absolue. 
Ainsi nous savons que parmi tous les arcs courbes passant par deux 
points donnés, l’arc <le ebaînelle est celui qui donne la moindre surface 
