SUR L’ APPLICATION DE UHYPERBOLOIDE 
À UNE NAPPE DU QUATRIÈME ORDRE COMME 
SURFACE AUXILIAIRE 
par le général ALFREDO SCHIAPPA MONTEIRO 
Ancien Professeur à la Faculté des Sciences 
La question que nous nous proposons de résoudre, à 1’aide de cet 
hyperboloide, a été énoncée par Poncelet de la manière suivante: 
« Etant données deux sections coniques quelco tiques (S), (S'), sur un 
plan (P), déterminer la suíte des centres et des plans de projection tels, 
que ces sections coniques soient représentées par deux cercles ». 
Une question analogue, ainsi que la démonstration du príncipe, qui en 
est la conséquence, a été proposée dans le tome VII des Annales de 
Mathématiques ; et Brianchon a aussi étudié antérieurement ce príncipe, 
sans s’occuper de la démonstration, dans le dixième cahier du Journal 
de VÈcole Polytechnique. 
Poncelet supposait que 1’analyse devait naturellement conduire, dans 
tous les cas, pour la courbe, lieux des centres auxiliaires de projection, 
à une équation du 12 e degré, décomposable en facteurs du 2e degré re- 
présentant autant de cercles, mais inséparables d’une manière purement 
rationelle (1818). 
À fin de procéder avec ordre, nous présenterons d’abord le résultat 
des notables recherches faites par Poncelet sur cette question, ou la so- 
lution énoncée par ce grand géométre, dans le théorème suivant: 
« Tous les points de V espace, qui sont susceptibles de projecter à la fois, 
suivant des cercles, deux sections coniques quelconques (S), (S'), situées sur 
un même plan (P), sont distribués sur autant de cercles déterminés qu’il 
y a des cordes idéales communes aux deux courbes proposées. Ces cercles 
sont situés dans des plans respectivement perpendiculaires sur le milieu 
de chacune de ces cordes, ils ont précisement ces milieux pour centres, et 
pour diamètres respectif la partie interceptée par chaque corde idéale dans 
les sections coniques supplémentaires des proposées, qui correspondent à 
cette même corde. Enfin , le plan de projection , qui donne à chaque fois 
