Sur Vapplication de V Hyperboloide à une nappe du quatrième ordre 
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centres O et c des coniques données, laquelle représentera les milieux 
des cordes de ces coniques , pamllèles au premier couple de diamètres , et 
1’équation de cette courbe sera: 
{a 2 — b 2 ) xy — a 2 hy — b 2 kx —o (3) 
équation qui représente aussi une surface cylindrique perpendiculaire au 
plan (P). 
La première surface (1) peut se nommer hyperbeloide à une nappe du 
quatrième ordre (*); la deuxième (2) est, comme on sait, un hyperboloide 
à une nappe de révolution et la troisième (3) une surface cylindrique hy- 
perbolique, ayant pour trace Vhyperbole équilatère d’ Apollonius. 
Cest 1’intersection de ces trois surfaces, qui donne les sommets com- 
muns des cones demandés. 
Déterminés ainsi analytiquement ces sommets, on aura les cercles, 
qui représentent les autres positions des sommets relatives à des plans 
de projection obliqúes par rapport au plan (P). 
Si le cercle (C) était remplacé par autre ellipse (S'), la seconde sur- 
face (2) serait de même remplacée par un autre hyperboloide à une nappe 
du quatrième ordre , et la troisième surface (3) aurait alors pour trace une 
autre conique lieu des points de rencontre des couples de diamètres des 
ellipses (S), (S'), conjugués respectivement de couples de diamètres de celles - 
ci parallèles entre eux, et cette conique passera aussi par O et c, centres 
des faisceaux homographiques générateurs de cette courbe. 
Nous croyons que Poncelet ne connaíssait pas 1’ordre de cette 
courbe. 
Obs. — Comme on le voit, la surface (2) se réduit à un hyperboloide de 
révolution à une nappe , lorsque 1’ellipse de gorge (S) devient un cercle. 
L’hyperboloíde auxiliaire (1) aura aussi un ellipsoide du quatrième or- 
dre pour surface supplémentaire, ayant pour équation 
a 2 b 2 ( a 2 y 2 + b 2 x 2 ) z 2 + (a 4 y 2 + b 4 x 2 ) ( a 2 y 2 + b 2 x 2 — a 2 b 2 ) —o (4) 
Dans ce cas particulier, cet ellipsoide deviendra la sphère supplémen- 
taire de cet hyperboloide de révolution. 
( 1 ) Nous croyons que cette surface n’est pas encore connue. 
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