Sur la démonstmtion geométrique d’ une propriété 
229 
Ces égalités, comme on le voit, montrent très élementairement et par 
voie géométrique que les projections des troís segments MN, MN' et NN' 
de la normale MNN', eti un point quelco tique M d’ une conique à centre , 
compris entre ce point d'incidence et les axes, sont constantes. 
La première projection m est égale au demi-paramètre p des coniques 
à centre; et la deuxième ri 1 , égale au demi-axe semiofocal a , représente 
respectivement la grandeur des segments constants MNi et MN 2 des 
vecteurs FiM et F 2 M, dont les extrémités 7V'i et N 2 engendrent deux 
conchoídes de Jerabek. 
Le segmeut OoM = OTo=po peut aussi se considérer comme la pro- 
jection de ces segments, égaux au demi-axe a , sur la normale, et alors, 
par cette voie, on aura 
po = a cos 
ab ab 
b' 
( 6 ) 
pob ] = ab 
(8) 
Cette égalité exprime très aisément et par voie géométrique que Vaire 
du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués, d’une 
conique à centre , est égale à Vaire du rectangle dc ses demi-axes. Ce qui dé- 
montrele l er Théorème d’Apollonius pources coniques. Le2 ème Théorèrne de 
ce grand géomètre peut aussi se démontrer par cette voie, pour ces coniques. 
D’après cela, on aura 

n\ a 2 
( 19 ) 
et par suite. 
m.n'i = ± b 2 ... 
mn\ 
(m + flV) 2 ~d~ 
( 20 ) 
( 21 ) 
II en résulte que le rapport entre les grandeurs constantes des projec- 
tions des trois segments variables considérés , de la normale à la conique 
à centre , sur ses rayons vecteurs , est égal au rapport constant entre ces 
mêmes segments variables. 
Comme 1’illustre mathématicien M. Balitrand a aussi démontré, suivant 
un autre chemin, pour résoudre indirectement la question proposée, rela- 
tive au cas oü la conique considérée est une ellipse 0). (*) 
(*) Voy. L’ Intermédieure des Mathématiciens, T. XXI, 1914, p. 208. 
