SUR UN THÉORÈME DE CAUCHY 
PAR PEDRO JOSÉ DA CUNHA 
Professeur à la Faculté des Sciences 
I — Cauchy a fait remarquer dans le Bulletin de la Socicté Philoma- 
tique qu’une propriété notable des fractions moindres que Tunité, que J. 
Ferey avait signalé dans le même recueil, n’était qu’un corollaire d’un théo- 
rème, qu’il classifia comme curieux, et dont Ténoncé est: 
Siy après avoir range dans leur ordre de grandeur les fractions irré- 
ductibles dont le dénominateur n'excède pas un nombre entier donné^ on 
prend à volontéy dans la suite ainsi forméey deux fractions consécutives, 
leurs dénominateurs seront premiers entre euXy et elles auront pour diffé- 
rence une nouvelle fraction dont le numérateur ser a Vunité, 
La démonstration de Cauchy est très-élégante, comme toutes celles 
de ce grand géomètre, mais il est facile d’établir le même théorème par un 
raisonnement extrêmement simple, qui a Tavantage de montrer comment 
on peut former rapidement toutes les fractions dans les conditions de 
rénoncé, écrites dès lors dans leur ordre de grandeur. 
En effet, soit n le nombre entier donné. 
II est évident que toutes les fractions de la suite 
1 1 1 1 1 
n ' /z-1 ’ /z-2 ’ ’ 3 * 2 ’ 
de même que celles de la suite 
12 3 n-1 n-X 
2 3 4 n-\ n 
la seconde desquelles a pour élément initial le dernier élément de la pre- 
mière, sont telles que les dénominateurs de deux fractions consécutives 
quelconques sont premiers entre eux, et que la différence entre elles a 
pour numérateur Funité. 
Entre ces fractions d’autres peuvent sMntercaler, car, — et étant en 
b b 
