2 
Pedro José da Cunha 
général deux fractions quelconques, satisfaisant à la condition 
ba! — ati = \ , 
on a, en ajoutant et en retranchant du premier membre ab ou a! ti , 
b {a d!) — a{b ti) 1 , 
a! {b + ti) — ti (a-{- a')=^ \ , 
ce qui prouve que les deux paires de fractions 
a-\- a' ^ a 
et — 
b + ti b 
ou 
a! , a-\- a! 
et - 
ti b-Vti 
jouissent encore des propriétés d^avoir leurs dénominateurs premiers en- 
tre eux et Tunité comme numérateur de leur différence. 
Alors, en formant la suite 
,..11 112 n-2 n-í 
VV ) .»*••> - ) _ > _ >•••> y » 
n n-\ 3 2 3 /^-l n 
en intercalant entre les fractions consécutives, dont la somme des déno- 
minateurs n’excède pas / 2 , celles qui s^obtiennent en prenant pour ter- 
mes les sommes des termes des dites fractions consécutives; et en ré- 
pétant Topération dans la nouvelle suite obtenue, et ainsi successivement 
jusqu’oü ce sera possible pour que la somme des dénominateurs de deux 
fractions consécutives ne surpasse pas n; nous obtenons une suite de 
fractions irréductibles dans les conditions de Ténoncé, qui se trouvent dès 
lors écrites dans Vordre de leur grandeur croissante. 
II reste à prouver qu’il n’y a pas de fractions irréductibles, de déno- 
minateur n’excédant pas n, autres que celles qui figurent dans la suite fi- 
nale ainsi formée. 
Soit — une fraction irréductible, avec ^<//, qui ne soit pas comprise 
^ ^ a' 
dans la susdite suite finale. Désignons par — et — les deux fractions con- 
