Sur un théorème de Cauchy 
3 
sécutives de Ia dite suite finale qui comprennent entre soi — . Nous au- 
q 
rons, par hypothèse, 
(2) 
bd — ab'= \ , 
b + b'>n. 
et 
y q b ' 
d’oü 
í dq — > 0 , 
(3) 
\bp — aq'>o . 
II est toujours possible de déterminer deux nombres entiers et posi- 
tifs m et mi tels que Ton ait 
(4) 
q = bm + tíni , 
p = am + dm ! , 
car le déterminant du système se réduit à Tunité, en vertu de (2), et les 
numérateurs des valeurs des inconnues sont positifs et non nuls, en 
vertu de (3). 
Donc les moindres valeurs, que m et mi peuvent avoir, sont égales à 
1, et Ia première des égalites (4) donne immédiatement 
ou 
q>b + b\ 
q>n, 
ce qui est contre Thypothèse. 
Par conséquent, Ia suite finale obtenue contient toutes les fractions 
irréductibles depuis— ^ jusque ^ ^ 
C Q. F. D. 
n 
n 
2 — Si nons avions un tableau formé par les fractions irréductibles, 
dont le dénominateur n^excède pas /z, écrites par ordre de grandeur, nous 
