Sur un théorème de Cauchy 
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constituaient une solution entière de (6) et que toutes les Solutions en- 
tières de (5) seraient conséquemment données par 
x = c^ zb bt , 
y — ^cv^ — at. 
3 — Comme le nombre des fractions de Ia suite (1) est 2/^-3, le nom- 
bre N des fractions irréductibles, dont le dénominateur ne surpasse pas /?, 
satisfait nécessairement à la condition 
N>2/z — 3, 
le cas d’égalité ne se produisant que pour /z — 2, 3 ou 4. 
On peut obtenir des limites inférieures plus rapprochées pour /z!>4 
Par exemple, p étant le plus grand nombre premier contenu dans n, on 
a, comme il est facile de voir, 
N > 2/2 + /? — 6 , 
le cas d’égalité ne se produisant que pour /2 = 5 ou 6. 
D’une manière générale, le nombre des fractions irréductibles, dont le 
dénominateur n’excède pas n, est donné par 
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en employant le symbole 9 {k) pour désigner combien il y a de nombres 
premiers à ^ et non supérieurs à k\ et quand on passe d’une valeur de n 
à la valeur suivante, N croít toujours d'un nombre d^unités compris entre 
2 et /2 dans le sens large. 
II résulte de là qu’il ne vaut pas la peine de construire le tableau des 
fractions irréductibles dont le dénominateur n’excède pas un nombre en- 
tier donné, rien que pour trouver les Solutions entières d*une équation dé- 
terminée. 11 convient, toutefois, d’en profiter si on Ta déjà formé, et lon 
peut même recommander sa construction, qui se fait une fois pour toutes, 
lorsque, par exemple, il sera nécessaire de résoudre en nombres entiers 
un grand nombre d’équations de la forme (5), dont les coefficients n’ex- 
cèdent pas, en valeur absolue, un nombre entier donné. 
