Sur la division des séries 
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nécessaire pour la convergence de la série (5). La première de ces séries 
est, en effet, divergente pour toute valeur z' de z qui annule S 2 (z); mais 
cette valeur ne sera pas un infini de 
5i ( z ) 
S 2 (z) 
si les conditions suivantes se 
produisent simultanément: — que z' soit le zéro de S 2 (z) de moindre 
module; que z soit dans 1’interieur du plus petit des cercles de conver- 
gence des séries (3) et (4) ; qu’il soit aussi un zéro de S, (z ) ; et que la 
5, (z) 
vraie valeur de „ - - - - 
S 2 (z) 
pour z=z' soit finie. 
5. — Voyons maintenant les résultats auxquels je suis arrivé en cher- 
chant des critériums de convergence applicables à d’autres classes de 
séries. 
Supposons d’abord que les termes de la série A sont réels et de mo- 
dules indéfiniment décroissants, que, à partir du second, ils sont alterna- 
tivement positifs et négatifs, et que les deux premiers sont positifs. En 
mettant en évidence les signes des différents termes nous avons alors 
(14) S 2 = a 0 + a, — a 2 + « 3 — • • • + (— 1) n ~ l a„ -\ 
Posons 
en faisant 
\= *1 “ a 2 ••• 
«0 «1 ••• (— (— 
0 0 • • • «, — a 2 
0 0 • • • a 0 a, 
11 est aisé de voir que les valeurs de ti n sont alternativement positi- 
ves et négatives; il suffit de reconnattre pour cela que les déterminants 
\ sont tous positifs. 
Pour n— \ on a Aj = a,. 
Pour « = 2 on trouve 
u = ±±$£_ 
n „ «+ 1 
