Sur la consideration géométrique des aires de deux courbes 
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sens contraire. ces pointes généiateurs des déveioppantes considérées, 
achèvent par coincider avec ses points de contact sur 1'arête de rebrous* 
sement, et le passage de ces points pour la seconde nappe, ou nappe in- 
férieure aura bien dans cet endroit en décrivant les seconds bras de leurs 
déveioppantes parallèles, liés aux premiers bras, par un rebroussement de 
premier ordre ou de première espèce, dans ces points, dont les points sy- 
métriques passeront alors à la première nappe au nappe supérieure. Dès 
que le point de contact t« de cette génératrice deviendra le point de re- 
broussement des deux bras de la développante par lui engendrée, c'est à 
dire quand on aura le cas ou les segments Oot«, 7 0 S 0 seront nuls: sans 
que, comme il est évident. les aires considérées (2). et (Zi), ainsi modifiées, 
ne laissent, par cela, d’être toujours équivalentes. 
De même, chacune de ces déveioppantes représentera Tintersection 
commune de toutes les surfaces développables, qui auront pour arêfes de 
rebroussements leurs développées, et, par suite, en nombre infini. 
5 — Dans la projection horizontale de la surface développable consi- 
dérée. 1'arête de rebroussement, présentant le caracter de son contour ap- 
parent, sur ce plan dc projection, le plan projetant de la génératrice mo- 
bile roulera sans glisser sur la surface cylindrique, qui projette hori- 
zontalement cette arête, tout le long de sa génératrice de contact, en tant 
que cette arête laisse en même temps sa trace fixée sur ce plan projetant, 
laquelle y deviendra, alors sa transformée ou Tenveloppe de cette généra- 
trice mobile, dont la variation d'inclinaison, sur la génératrice de contact, 
au point 7. avec cette surface cylindrique projetante. ou sa pente sur le 
plan horizontal sera ainsi obtenue, malgré le changement de sens du rou- 
lement de ce même plan projetant, qui entrainant les projetaníes des points 
générateurs G 0 , Go des déveioppantes considérées et de leurs points 
symétriques 5 0 SJ..., engendra les surfaces cylindriques, projetantes de 
ces courbes. 
II est, donc, clair que, en général, les projections horizontales de ces 
dévéloppantes, situées sur cette surface développable, ne sont pas des 
déveioppantes de ía projection horizontale de 1'arête de rebroussement de 
cette surface. 
Réciproquement, en générale, les déveioppantes de la projection hori- 
zontaíe de cette arête de rebroussement ne sont pas des prcjections de 
déveioppantes situées sur cette surface développable. 
II est facile de vérifier aussi que, en général, les aires sur chacune des 
deux nappes de cette surface développable correspondante à la projection 
horizontale commune des deux aires équivalentes (2), (z,), qui nous ve- 
