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Alfredo Schiappa Monteiro 
nous de regarder, sont inégales, et qu’il en sera de mêtne des autres par- 
ties restantes de ces aires, ainsi que de leurs projections correspondantes 
ou non surposées. 
D’après cela, on peut également dire, en général, que quand deux 
courbes ont même projection horizontaíe et chacune d’elles se trouve sur 
une des nappes d’une surface développable quelconque, les portions fi‘ 
nies des aires qu’elles terminent, sur cette surface, sont inégales. 
6 — Dans le cas particulier oü le cone directeur de la surface déve- 
loppable, est de révolution, son arête de rebroussement est une lignc géo- 
désique ou une hélice gênérale , ia trace de sa transfcrmée, que cette courbe 
laisse fixée dans le plan projetant de la génératrice mobile g 0 , se confon- 
dra alors avec cette génératrice elle-même, laquelle ainsi coupera conti- 
nueliement les génératrices de contact de ce plan avec la surface cylindri- 
que, qui projette horizontalement cette arêtte: et la surface développable 
ainsi engendrée sera d?égale pente , par rapport au plan horizontal, qui 
représente le plan fixe, qui ses plans tangents rencontrent sous une 
même inclinaison. La génératrice mobile go, dans cette surface, sera la 
ligne de pias grande pente , dont la trace horizontaíe (T) elle coupera 
normalement, étant d'après cela une courbe développante de 1'arête de re- 
broussement, et de sa projection horizontaíe. 
Alors les diíférents points O 0 , G ' 0 , ..., de cette génératrice g 0 conti- 
nuant à engendrer sur chaque nappe de cette surfaee d'égale pente des 
courbes parailèíes, et maintenant plane, déveíoppantes de son arête de re- 
broussement; ces courbes passent à avoir pour projection horizontaíe des 
déveíoppantes de la projeetion horizontaíe de cette arête. 
D’ailleurs ces déveíoppantes, comme on sait, peuvent être considérées 
comme 1’intersection d’une infinité de surfaces d'égale pente, dont les 
arêtes de rebroussement sont leurs déveíoppées à doubíe courbure, ayant 
pour déveíoppées planes les sections droites produites par leurs plans sur 
la surface cylindrique projetante commune de toutes ces arêtes. 
II en résulte que les projetantes horizontaíes de ces points générateurs 
Go, C/o,. . ., des déveíoppantes parailèíes, situées sur cette surface d'égale 
pente, seront des génératrices de surfaces cylindriques, déveíoppantes de 
celle, qui projette son arête de rebroussement, qui représentera alors leur 
surface cylindrique développée. 
Réciproquement, si !’on regarde une courbe quelconque (T) placée 
dans le plan horizontal de projection, et un plan normal, en un de ces 
points, ainsi que la normaíe g 0 , menée en ce même point, dans une di- 
rection arbitraire, sur ce plan normal: quand il se déplacera, restant tou- 
