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Alfredo Schiappa Monteiro 
de la déíinition de la surface d'égale pente, on en conclue que quand 
deux partions finies quelconques d'une surface d'égale pente ont la même 
projection horizontale, leurs aires sont équivalentes. 
De même: 
L'aire d’une portion finie d'une surface d'égale pente, terminée par 
une courbe quelconque, soumise ou non à la loi de continuité, est pour 
sa projection horizontale dans le rapport du rayon au cosinus de Tincli- 
naison constante des plans tangents. 
La quadrature de cette surface peut ainsi être ramenée à celle de la 
quadrature d'une courbe plane (*). 
8 — Cela étant, passons à considérer un arc AMB d’une courbe tra- 
cée dans un plan horizontal, qu'on peut supposer correspondre à la trace 
horizontale (T) d'une surface d'égale pente, dont les normales aux extré- 
mités A f B et à un point variable Al, formant un angle constant avec le 
pian horizontal, représenteront trois génératrices, dont les plans projetants 
des deux premières se coupent maintenant suivant une droite (n), qui a 
pour trace horizontale le point O h . 
Quand la normale variable M<* se déplacera, elle enveloppera Tarête 
de rebroussement a»p de cette surface d'égale pente, ou Tune des déve- 
loppées gaúches ou à double courbure de 1'arc donné AMB, et, en même 
temps le point AU symétrique du point M, par rapport ou poiut de con- 
tact {*, de cette normale, ou génératrice mobile, décrira la courbe Ai Mi Bi 
composée des points symétriques respectifs de cet arc. 
D'après cela, on aura à considérer deux aires équivalentes, 1'une 
AaupBMA, que nous représentons par (S), située sur une des nappes de 
la surface d'égale pente, et limitée par 1'arc de développée ou d'arête de 
rebroussement «u| 3, par ses deux tangentes A a, pB et par la dévelop- 
pante AMB; 1'autre AiauêBiMiAi, que nous désignons par (S\) située sur 
1'autre nappe, et limitée par cette même développée, par ses tangentes 
Ai*, BiS et par la courbe AiMiBi des points simétriques respectifs à la 
développante. 
Considérons maintenant les normales menées aux extremités A, B et 
au point variable M de cette développante, AMB; mais placées dans son 
plan. Pour obtenir les centres et les rayons de courbure correspondants, 
il suffit de projeter hori zontalement les points de contact p et * de 
la developpée à double courbure. contenus en ces plans sur sa trace corres- 
pondante, et que nous représentons respectivement par * h , p h et . 
(*) Monge, Applications de VAnalyse à la geonietrie , § VIII. 
