Sur la considerado n géoméirique des aires de deux co urbes 
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util aOb a/ avec ses tangentes symétriquement égales *A, «■' A ' à ses extré- 
mités a, a', ou sommets de !a développable, aux quels cet arc devient pa- 
rasite; mais apartenant à 1’une ellipse, dont un de ses sommets est le 
point 0b, Taire de cette nappe, que pour abreger, nous désignons par 
(E) 0b, ainsi limitée, sera plus petite que celle de sa nappe supérieure 
d'une manière analogue limitée par les deux boucles DíBiDl et Di'BiDi r 
décrits par les respectives points symétriques, relatifes aux ares eliiptiques 
DBD' et D ], B"Ü" ainsi que par les çorrespondantes ares doubles utils 
0#, DiV avec leurs tangentes, symétriquement égales ílDi, VDí' à ses 
extrémités P', ou sommets de cette même développable, aux quels 
aussi ces ares devient parasites ; mais appartenant aíors à 1'une hyperboíe, 
dont le point 0 a est Tun de ses sommets. 
On peut aussi considérer cette ellipse (E) comme la trace horizontale 
d'une surface cylindrique verticale, et celle-ci comme la surface dévelop- 
pante de la surface cylindriqne projetante de 1'arête de rebroussement de 
la développable elliptique. 
Cela étant, comme on sait, quand un plan, coupant normalement la 
première surface cylindrique, le long d'une génératrice, se déplace d'une 
manière continue, il roule s^jis glisser sur la surface cylindrique proje- 
tante de 1’arête de rebroussement de cette développable elliptique et toute 
droite, située sur ce dlan enveloppé, et symétrique de cette génératrice 
variable, par rapport à sa génératrice de contact, ou de roulement, engen- 
drera une troisième surfaçe cylindrique, qui coincidéra avec la projetante 
de la courbe AíDíBíAiDiBi Di Aí des points symétriques des points 
correspondants de cette ellipse. 
Ainsi cette troisième surface cylindricjne aura, donc, deux génératrices 
crunodaíes DiDi h , Di'Di ,h , qui ont la direction des projetantes des deux 
nceuds ou points crunodaux DiDí 1 , et deux génératrices cuspidales AiAi h , 
Aí 1 Ai ,h , ayant la direction des projetantes des deux points cuspidaux 
Ai'Ai ,h . 
II en résulte que cette surface cylindrique sera composée de deux 
boucles cyündriques limitées par les deux premières génératrices et d’une 
antre surface cylindrique limitée par ces deux génératrices crunodaíes, et 
par les deux génératrices cuspidales. Or, en désignant par A %Ay\ les 
points de rencontre des génératrices cyündriques, ou projetantes AiAí h , 
Ai'j4i /h avec Tare double util a0 b a' d'é!lipse; et, respectivement, par les 
points de recontre Z)i, Di' des projetantes Z)iZ)i h D D i h avec les géné- 
ratrices B$ } Bp 1 de la surface d'égale pente elliptique, on voit tout de 
suite, que í'une des traces, qui cette surface cylindrique, ainsi comme dé- 
termine sur la nappe inférieure de cette développable, peut être la courbe 
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