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Alfredo Schizppa Monteiro 
A% A' a D 3 Az, composée, comme il est évident, de deux couples de 
points, cuspidaux A*., A'*, et Dt,D$, et, par suite, cette surface cylindri- 
que composante considerée séparément pourra être nommée qnadricus- 
pidale. 
D’aüleurs, il est clair que, les deux points cuspidaux AíAí de cette 
courbe seront communs aux courbes répondant aux autres traces, et que 
toutes les aires de ces courbes seront éq ui valentes. 
D’après cela, on peut achever par reconnaitre que dans cette dévelop- 
pable elliptique, dass ce premier cas, aussi en ajutant à Faire de sa nappe 
inférieure que nous avons indiquée par (E) Oh, Faire de cette courbe 
A a DpA' a Z)'j3 A x , laire totale sera équi valente à Faire de sa nappe supé- 
rieur, limitée par les deux boucles DíBíDi et DvB^Dv et par les deux 
ares doublcs utils et D'$ d’hyperboles avec les tangentes $Bí et $'B\ 
aux extrémités p et p'. 
Dans le second cas, Ai, Ai! coincidant avec le point O*, il en sera de 
même des points Di,Di' de la génératrice variable considérée antérieure- 
ment, et alors on voit qu'à Féllipse (E), déveilopante de la nappe infé- 
rieur de la surface d'égale pente, répondra sur la nappe supérieur Ia 
courbe O a BiO* B\!O a de ses points symetriques, par rapport aux points 
de contact des respectives génératrices rectilines, sur Farête de rebrous- 
sement, composée de deux boucles O a BiO* et O a Z?i'O a ayant pour nceud 
ce point Oa, qui, dans cette courbe, transformée de Fantérieure, représente 
la reunion des deux couples de points cuspidaux et crunodaux, et symé- 
triqnement disposée, par rapport au premier et au second plan de rebrou- 
sement, des deux correspondants couples de sommets <*,*', et p,s', de 
la développable, ou qui ont pour trace horizontale respectivement Faxe 
semioíocal et laxe asemiofocal de cette ellipse. 
D'ailleurs, Faire de sa nappe inférieure, limitée par cette ellipse, et que 
nous avons désignée par (E)Oi, sera équivalente à Faire de sa nappe su- 
périeure, limitée par les deux boucles O a BíO& et O a Bi'0 a décrites par 
les respectifs points symetriques de cette conique, et par Farc double util 
po a p' d'hyperbole avec ses tangentes symétriquement égales $Bi t $'B'i à 
ses extremités 3, au sommets de cette développable, auxquels cet arc 
devient parasite, et dont ce point O a est Fun de ses sommets. 
La surface cylindrique projetantede la courbe O a BiO a Bí'0&, des points 
symétriques considérés, aura pour génératrice nodale ou crunodale Faxe 
( Q ) de la développable, par lequel elle sera divisée en deux boucles cylin- 
driques: et ayant pour plans de symetrie les deux plans, qui ont ponr 
traces horizontaíes les axes de Fellipse (E) : en un mot, on voit que cette 
surface cylindrique projetante est la transformée de celíe du cas antérieur, 
