Sar la ccnsideration geométrique des aires de deux courbes 
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On voit, donc, geometriquemant, et d'une manière generale, que Taire 
de Tellipse (E) ne peut être equivalente à celle de la sextique considerée 
par M. Barisien au moyen de la geometrie analytique (n o 1), si l’on a 
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ou si cette sextique a deux points crunodaux ou doubles. 
13 — Les illustres Mathématiciens M. M. F. Balitrand et R. Goormaghtigh, 
dans leurs réponses géometriques (*), à cette question proposée par Tillus- 
tre Mathématicien, M. Barisien, ont comme lui, considéré cette equivalence 
des deux aires comme vraie dans tous les cas ou quel que soit la valeur 
de R a , d'oü il resulte que leurs demonstrations d'après ce que nons venons 
d’exposer ne peut satisfaire et moins encore la seconde. 
En effet, d'abbord Mr. F. Balitrand dit: «Le theorème en question n'est 
qu’un cas particulier de la proposition generale suivant: 
Un segment rectiligne de longueur et position variabíe, reste tangen- 
te, en son milieu, à une courbe fermée. Les aires des courbes décrites par 
ses extrémités sont égales. — (Demartres, Cours de Céometrie infinitési- 
rnale \ p. 414. Exerci ce 5.). w 
Outre cette citation n'être pas aussi générale, elíe ainsin présentée iso- 
lément sans les píus petites considérations ne peut satisfaire à la question 
proposée, même que dans cette courbe fermée, on considère les quatre 
points de rebroussement de premier ordre, comme développée plane de 
1'ellipse, et par cela il a arrivé de même, d'après la géometrie synthétique 
plane, à 1'une conclusion identique à celle de Mr. E. Barisien, à 1'aide de 
la géomtérie analytique. 
En second lieu M. R. Goormaghtigh considère que: "Soient deux eour- • 
bes T et T'; la tangente en un point M de F rencontre F en N, considé- 
rons le lieu Y ,r décrit par le symétrique Q de N, par rapport à M. Au 
moyen d'une considération de limites on démontre que si deux positions 
NQ et N*Q' de NQ se rencontrent en P, les aires des triangles mixteli- 
gnes PNN’ et PQQ’ sont égales (Mr. d'Ocagne N. A. 1886, p. 83; voir 
aussi notre. Note sur la transformation par aires constantes). N. A., 1915, 
p. 393). théorème de M. Barisien, est un cas particulier de cette pro- 
position générale. 
(*) Vay. LMntermédiaire des Mathématiciens, T. XXIII, avril, 1916, p. 93, question 
proposée n.o 4568. 
