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Alfredo Schiappa Monteiro 
La sextique considérée a deux rebroussements T, T', correspondants 
aux somments A et A' du grand axe de 1'ellipse, et deux boucíes, dont les 
sommets 5 et 5’ correspondent aux sommets B et B' du petit axe. Quand 
le point N se déplace de A en B sur Tellipse, le point Q correspondant 
de la sextique décrit 1'arc TS de celle-d; dès lors, si Ton applique le théo 
rème rappelé, et si 1'on désigne par O le centre de 1'éllipse, et par R le point 
double situé sur la branche TS de la sextique, on voit que la somme des 
aires du triangle mixtiligne OTR et de la demi-boude RS est égale à celle 
du quart d’ellipse OAB. Ceei démontre le théorème de M. Barisien !„ 
Cest exactement le contraire qu'il y a lieu, quand la sextique a deux 
points doubles ou crunodaux, dest-à-dire, dans ce cas (n o 9), la somme 
des aires de ce triangle mixtiligne et du quart d’eílipse est égale ou équi- 
valente à celle de ia demi-boude, ou 1'aire de ce quart d'ellipse est moin- 
dre que celle du quart de la sextique ! 
En effet, on doit observer, en passant en revue les príncipes, que nous 
venons de présenter dans nos recherches, que le segment rectiligne NQ, 
qui touche la courbe T au point M peut se regarder comme la projection 
horizontal, du segment d'une génératrice rectiligne mobile go, d'une surface 
deveíoppable quelconque, dont 1'arête de rebroussement et son point de 
contact, sur cette arête, se projettent aussi respectivement suivant cette 
courbe r, et ce point M ; et alors les points N et Q, simetriques par 
rapport à ce point M, seront les projections recpectives d'un point G 0y 
d’une developpante de cette arête et de son point symetrique S 0 , par rap- 
port au point de contact 70 , d'après on a anterieurement consideré (n.° 3) 
à 1’aide de la fusion de la géometrie plane et de celle dans Tespace. 
D^illeurs, comme on sait (n.° 4) tous les points, tels que G 0 de la 
géneratrice mobile g 0 decrivent des developpantes paraílèles à celles de- 
crites par son point de contact et par suite paraílèles entre-elles. 
Si, donc, cette generatrice se deplace au moyem de roulement sur 
1'arête de rebroussement de la deveíoppable, et en même temps, avec un 
glissement tangentiel : dans ce cas, ces developpantes ou arthoptiques 
decrites par ses points G 0 , Gí, deviendront des courbes obliqúes à 
cette même generatrice et equitangentielíes, sous un angle+ * variable en 
general, par rapport à celle-ci: puisque ces deux mouvements pourront, 
avoir un rapport. tel que cet angle soit constant, et, dès lors, les courbes 
equitangentielíes être directes ou inverses, ou bien positives ou negatives, 
étant considerées separement, comme des courbes isoclines ou isop tiques, 
par rapport à la generatrice mobile, par arête de glissement dans cette 
même deveíoppable, au sans glissement par arêtes obliqúes en deux autres 
developpables correspondantes. 
