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Alfredo Schiappa Monteiro 
3 — Regardons dans cette surface une génératrice rectiligne quelcon- 
que g 0 , et son point de contact 7 0 avec 1'arête de rebroussement (r), 
ainsi que un point Go de cette génératrice, situé dans une des nappes, et 
son point symétrique S 0 , par rapport à ce point de contact 7», en sort 
que nous ayons les segments ègaux G70, yS Q placés respectivement, dans 
la première et dans la seconde de ces nappes. 
Cela étant, lorsque la génératrice go se déplaeera, en roulant sans 
glisser, dans le même sens. sur 1 'arête de rebroussement (r), le point Go 
décrivant, dans la première nappe, la développante GoG,...Gnde ce 
point, et son point symétrique S 0 décrira une courbc S 0 S,...Sn dans la 
seconde nappe. telle que 1'aire S 0 S/ . . . Sirpi . . . 70S0 comprise entre cette courbe, 
la partie correspondant ToT ; . ..T n d.arc de 1'arête (r), e des segments rectili- 
nes 7<>So7 n Sn correspondants à la position iniciale et finale g 0 et gn de la 
génératrice rectiline considérée, sera équivalent à 1 'aire G 0 G,... Gn^n^oGo 
comprise entre la première courbe, cette même partie d'arc de 1’arête (r) 
et des autres segments rectüines G07 0 , Gn^n de cette génératrice variable 
dans ces mêmes dernières positions. 
En effet, les surfaces développables pouvant être regardées comme 
composées d'éléments plans d'une longueur indéfinie d'une Jargeur infini- 
ment petite, et qui se coupent consécutivement en lignes droites, si l'on 
désigne la première et la second aires équivalentes respectivement par (2) 
et ( 2 )> et l’on considère, deux positions consécutives infiniment voisines 
Gn^nSn et G'n/n Sn de la génératrice mobile, d'après nous venons de sup- 
poser, se coupant en un point /, attendu que 1'arc 7^7 n de 1'arête de re- 
broussement est infiniment petite du premier ordre, les deux triangles 
mixtilignes infinitésirnaux G n /G'n et S n /Sn. auront leurs aires équivalentes, 
à un infiniment petit près, ii resulte de là que les intégrales de ces deux 
suites de triangles, en passant à la limite, deviendront égales ou les aires 
considérées (2) et (2) équivalentes. 
On voit de suite que. quelle que soit la surface développable, ces deux 
aires équivalentes (2) (z y ), ainsi prises sur cette surface, auront séparément 
égales les aires de leurs projéctions horizontales, que nous designerons 
respectivement par (a) et (s,). 
4 — Comme on le voit, tous les points de la génératrice mobile £b, 
situés sur la première nappe, décrivent des développantes parallèles à 
celle GG°G / ...G n décrite par son point Go, ainsi qu'à celle décrite d'une 
manière analogue par son point de contact 70, et, par suite, parallèles en- 
tre-elles. 
D'aiíleurs, on sait aussi bien que, si cette génératrice se meuve en 
